Vekkulien arvoitusten kysymys- ja väittelyketju

[Romppanen]

Olet oikeassa 2 kertaa kolmesta. Vaihtoehtoiset heitot ovat
AA,AB,BA,BB. Kun valvoja sanoo A tai B, jäljelle jää kolme vaihtoehtoa, joista kahdessa veikkauksesi on oikein.

Oletetaan, että valvoja kertoo sulle "Klaava". Millä perustelet sen, että saat tämän toisen kolikon 2/3 oikein?

Jos kaltaisiasi olisi enemmän, niin minä en tekisi leipätyökseni mitään muuta kuin heittelisin kahta kolikkoa...

 

[Sistis]

No lukiossa ei muistaakseni raja-arvosta juuri muuta opittu kuin laskusääntöjä, mutta TTY:llä varmaan sentään opittiin myös epsilon-delta-määritelmät yms.? Reaalilukujen määritelmä on vissiin kuitenkin jääneet vähemmälle, kun pitää tästä asiasta niin jankata :).

Ajan hammas on syönyt suurimman osan matematiikan osaamisestani, lukiosta pääsin vuonna 1999, ja TTY:n matemattikan kursseista suurimman osan olin suorittanut vuoteen 2002 mennessä. Sen jälkeen tulikin enää tilastomatematiikan kurssi, jonka menin tenttimällä läpi lukion matematiikan avulla. :)

Lyhyesti vielä kerran: 0,999... on matematiikassa esitysmuoto sille luvulle, jota kohti geometrinen sarja 0,9 + 0,09 + 0,009... lähestyy. Tämä arvo sattuu olemaan 1. Aivan vastaavasti kuin 0,333... on lyhennelmä arvolle, jota sarja 0,3 + 0,03 + 0,003... lähestyy, eli 1/3.

Voi toki olla, että asian mennessä syvällisemmäksi, aiemmin opetetut teoriat myönnetäänkin sitten oletuksiksi, eli minulle opetettu "0.9999... :n raja-arvo on yksi" onkin ollut virheellinen teoria. Samanlaisia yksinkertaistuksia on tullut vastaan myös esimerkiksi enemmän opiskelemassani elektroniikassa. Tyyliin: peruskursseilla opetetaan, että diodilla on kynnysjännite. Syventävillä kursseilla myönnetäänkin: "ei diodilla mitään kynnysjännitettä ole"... ehkä tässäkin on sama homma.

Minulle opetetun mukaan tuo 1 on edelleen raja-arvo, jota kohti mennään, kun lisätään aina vaan pienempi luku nollan ja monen desimaaliyhdeksikön perään. Mutta tuota raja-arvoa ei silti saavutettaisi. Taidan nyt sortua tässä tähän Aristoteleen esittämään Xenon paradoksiin (vai mikä se nyt olikaan)...

Tämä linkki taisikin täällä jo olla, mutta tuolla on siis useampikin todistus tuolla lauseelle, milläs perusteella ne kaikki eri todistukset kumositkaan?
http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_0.999..._equals_1

Aloin tuossakin pohtimaan sitä, että eikös suppenevan geometrisen sarjan summa ole myöskin raja-arvo? Siinähän lisätään aina vaan pienempää lukua jo saatuun summaan? Siinä mielessähän ainakaan sillä todistuksella ei tulla tässä yhteydessä hullua hurskaammaksi.

Täällä vielä bonuksena reaaliluvun määritelmä, sieltä voi lueskella niistä sarjajutuista, jos kiinnostaa:
http://en.wikipedia.org/wiki/Real_number

Pitää tsekkailla, kyllä näitä sarjajuttuja on joskus tullut jankattua aika paljonkin, mutta noista insinöörimatematiikan kursseista on aikaa jo hyvin kauan...

 

[Franchi]

Sanottakoot, että tuohon on kaksi oikeata vastausta, mutta käytännössä (per se) vain yksi.

Koska en halua edes yrittää ajatella tuota asiaa molekyylien, siskosten tai minkään muun muuttujan kannalta, vastataan, että ääretön (niitä ei saa noin sekoittamalla toisiaan vastaaviksi). Jos ei veikkaa jne. Kerro meille.

 

[varjo]

Oletetaan, että valvoja kertoo sulle "Klaava". Millä perustelet sen, että saat tämän toisen kolikon 2/3 oikein?

Jos kaltaisiasi olisi enemmän, niin minä en tekisi leipätyökseni mitään muuta kuin heittelisin kahta kolikkoa...

Mahdollisia tapauksia kolikoille on siis:

1 Kruuna- 2 Kruuna
1 Klaava- 2 Klaava
1 Kruuna- 2 Klaava
1 Klaava- 2 Kruuna

Jos valvoja sanoo Klaava, havaitaan että Klaava löytyy kolmesta parista.
Jäljelle jää siis mahdollisuudet:
1 Klaava-2 Klaava
1 Klaava- 2 Kruuna
1 Kruuna- 2 Klaava

Valvojan klaava voi olla kumpi tahansa kolikoista, siksi molemmat kombinaatiot on otettava mukaan.
Nyt veikkaamalla siis Kruuna, havaitaan että olet oikeassa 2 kertaa kolmesta.

 

[Romppanen]

Mahdollisia tapauksia kolikoille on siis:

1 Kruuna- 2 Kruuna
1 Klaava- 2 Klaava
1 Kruuna- 2 Klaava
1 Klaava- 2 Kruuna

Jos valvoja sanoo Klaava, havaitaan että Klaava löytyy kolmesta parista.
Jäljelle jää siis mahdollisuudet:
1 Klaava-2 Klaava
1 Klaava- 2 Kruuna
1 Kruuna- 2 Klaava

Valvojan klaava voi olla kumpi tahansa kolikoista, siksi molemmat kombinaatiot on otettava mukaan.
Nyt veikkaamalla siis Kruuna, havaitaan että olet oikeassa 2 kertaa kolmesta.

Tehdään sama 10 kolikolla. Valvoja heittää kymmenen kolikkoa, ja sanoo "yhdeksän klaavaa". Anna todennäköisyydet klaavalle ja kruunalle viimeisen kolikon osalta.

 

[Franchi]

Mahdollisia tapauksia kolikoille on siis:

1 Kruuna- 2 Kruuna
1 Klaava- 2 Klaava
1 Kruuna- 2 Klaava
1 Klaava- 2 Kruuna

Stop tähän, ei jatketa eteenpäin. Eli on 50% mahdollisuudet, että kolikot ovat samat (kruuna-kruuna, klaava-klaava) ja 50% todennäköisyys, että ne eroavat toisistaan (kruuna-klaava, klaava-kruuna). Koska aiemmin ei määritetty, että pitäisi esiintyä joko kruuna tai klaava (vrt. tyttö-esimerkki), saa todennäköisyydet jo tästä suoraan. Eikö?

 

[varjo]

Stop tähän, ei jatketa eteenpäin. Eli on 50% mahdollisuudet, että kolikot ovat samat (kruuna-kruuna, klaava-klaava) ja 50% todennäköisyys, että ne eroavat toisistaan (kruuna-klaava, klaava-kruuna). Koska aiemmin ei määritetty, että pitäisi esiintyä joko kruuna tai klaava (vrt. tyttö-esimerkki), saa todennäköisyydet jo tästä suoraan. Eikö?

Kuten jo poika-tyttö-probleemasta käy ilmi, kyse on paljolti siitä mitä kysymyksessä tahdotaan kysyä.
Toteamalla että joukossa on ainakin yksi klaava/kruuna, supistuu otosavaruudesta se yksi vaihtoehto kokonaan pois.Tällöin siis "toisen" kolikon kohdalla vallitsee ehdollinen todennäköisyys, jolla on joko 3 mahdollista vaihtoehtoa tai sitten 2, mikäli kolikoilla ei sinänsä ole merkitystä.

10 kolikon kohdalla taas tilanne on hieman erilainen, jos valvoja sanoo että ensimmäiset 9 kolikkoa olivat klaavoja, kymmenennen kolikon kohdalla tilanne on 50-50. Kuitenkin jos taas valvoja sanoo, että klaavoja on ainakin 9, mikä taas on oikeastaan alkuperäisen kysymyksen henki, tilanne onkin erilaisempi. Tällöin todennäköisyys 10. klaavalle on (1/2)^10, koska tällöin kyse onkin koko otosavaruudesta ja kyse onkin siitä, että mikä on todennäköisyys että kaikki 10 kolikkoa ovat klaavoja. Kruunan todennäköisyys taas on sen komplementti.

 

[Romppanen]

Sitsueissön is tis:

Minulla on vasemmassa kädessäni kolikko, jonka tuloksen (KR/KL) kerron sinulle. Sinun tulee sen jälkeen arvata oikeassa kädessäni olevan kolikon tulos (KR/KL). Väitätkö arvaavasi tuon oikeassa kädessäni olevan kolikon tuloksen 2/3 kertaa oikein, jos tehdään ääretön määrä toistoja?

 

[Jippo]

En tiedä, tuliko jossain muussa Jatkoajan keskustelussa jo esiin, että vain 65 prosenttia suomalaisista "uskoo" tutkimusten mukaan evoluutioon. 35 prosenttia olettaa siis, ettei ihminen ole kehittynyt muusta lajista. Kehitysoppiin luottavien määrä oli Suomessa keskiarvojen alapuolella.

No, tämähän on ikuinen kiistanaihe, eikä millään lailla "matemaattinen" kysymys. Mutta tämä Mäkis-teema on saanut jo sen verran klassisen väittelyn piirteitä, että kokeillaanpa lähteekö tämä vähän evoluutiotakin liippaavaa klassikko elämään.

Kumpi oli ensin, muna vai kana?

 

[palle fontän]

Tehdään sama 10 kolikolla. Valvoja heittää kymmenen kolikkoa, ja sanoo "yhdeksän klaavaa". Anna todennäköisyydet klaavalle ja kruunalle viimeisen kolikon osalta.

Kruuna on kymmenen kertaa todennäköisempi.

 

[palle fontän]

Sitsueissön is tis:

Minulla on vasemmassa kädessäni kolikko, jonka tuloksen (KR/KL) kerron sinulle. Sinun tulee sen jälkeen arvata oikeassa kädessäni olevan kolikon tulos (KR/KL). Väitätkö arvaavasi tuon oikeassa kädessäni olevan kolikon tuloksen 2/3 kertaa oikein, jos tehdään ääretön määrä toistoja?

Ei tietenkään, kun määrittelit järjestyksen. Silloin toisen todennäköisyys on 1/2.

edit: Tarkennetaan sen verran, että kombinaatiot putoavat luonnollisesti kahteen tuossa.

 

[varjo]

Sitsueissön is tis:

Minulla on vasemmassa kädessäni kolikko, jonka tuloksen (KR/KL) kerron sinulle. Sinun tulee sen jälkeen arvata oikeassa kädessäni olevan kolikon tulos (KR/KL). Väitätkö arvaavasi tuon oikeassa kädessäni olevan kolikon tuloksen 2/3 kertaa oikein, jos tehdään ääretön määrä toistoja?

En väitä, koska tällaisesta tilanteesta ei alunperin ollut kysymys. Eikä tilanne ole niin simppeli kuin se nyt näyttää, juuri koska otosavaruus on se mitä se on ja silläkin on merkitystä onko Kruuna-Klaava sama asia kuin Klaava-Kruuna.

Periaatteessa homma taitaa ratketa Bayesilaiseen todennäköisyyteen ts. todennäköisyys sille, että toinen kolikko on kruuna kahdessa heitossa on 2/4=1/2. Todennäköisyys taas sille, että ainakin toinen kolikko on kruuna on 0,75.
Ehdollinen todennäköisyys siis kruunalle, on 0,5/0,75=2/3

http://en.wikipedia.org/wiki/Bayes'_theorem

 

[Romppanen]

En väitä, koska tällaisesta tilanteesta ei alunperin ollut kysymys. Eikä tilanne ole niin simppeli kuin se nyt näyttää, juuri koska otosavaruus on se mitä se on ja silläkin on merkitystä onko Kruuna-Klaava sama asia kuin Klaava-Kruuna.

Valitettavasti tämä kolikkokysymyksen (joka on siis täsmälleen sama kuin tuo alussa ollut case Mäkinen) ratkaiseminen kompastuu ainakin omalta osaltani "kannukaverisi" surkeaan ulosantiin/kysymyksen asetteluun. Omasta mielestäni kohtalaisen selvästi tein hänelle selväksi tilanteen olevan minun mielestäni tämän kaltainen ja kun kertaakaan ei tullut tyrmäävää mielipidettä, niin ajattelin asian olevan myös näin:

Mäkisellä on kaksi lasta jotka ovat molemmat esim. "verhon" takana. Mystinen valvoja paljastaa, että jompikumpi näistä lapsista on tyttö, jonka jälkeen tämä kyseinen tyttö tulee pois verhon takaa, jonka jälkeen pyrittäisiin "arvaamaan" sen toisen, verhon taakse jääneen lapsen, sukupuolta.

Mutta kuten tästäkin ketjusta kävi selväksi, niin ennen oikeaa vastausta pitäisi tietää, mikä on oikeas kysymys.

 

[Rod Weary]

Mäkisellä on kaksi lasta jotka ovat molemmat esim. "verhon" takana. Mystinen valvoja paljastaa, että jompikumpi näistä lapsista on tyttö, jonka jälkeen tämä kyseinen tyttö tulee pois verhon takaa, jonka jälkeen pyrittäisiin "arvaamaan" sen toisen, verhon taakse jääneen lapsen, sukupuolta.

Vastaan tässä tapauksessa: poika. Valvoja möläytti hiukan liian aikaisin.

 

[Master God]

Niin, nähdäkseni on olennaista, kuten aiemminkin kautta rantain sanoin, että onko kysyjä a) päättänyt etukäteen kysyä tietyn kysymyksen ja sitten etsinyt siihen suotuisen sisarusparin (tai heitellyt kolikkoa kunnes sopiva kombinaatio tulee), jolloin kysymyksen vastaus olisi tn 1/3 vai onko kysyjä b) vasta sisarusparin nähdessään (tai kolikkoa heitettyään) päättänyt kysyä kysymyksensä ja kohdistaa sen sopivaan sukupuoleen (tai kolikon puoleen), jolloin vastaus olisi tn 1/2

Koska tätä ei tiedetä, ja voitaneen olettaa että todennäköisyys kummallekin vaihtoehdolle on 1/2; päädyn julistamaan korkeimpana totuutena alkuperäiseen kysymykseen "Mäkisillä on kaksi lasta, joista toinen on tyttö. Millä todennäköisyydellä myös toinen lapsi on tyttö?" vastauksen:

P(A) = 1/2*1/2 + 1/2*1/3 = 5/12 = 0,41666...

 

[Lexa]

Pöydällä on kaksi kolmentoista desilitran kannua, joista toisessa on litra vettä ja toisessa litra viiniä. Tarjoilija kaataa aina kerrallaan kolme desilitraa nestettä toisesta kannusta toiseen ja sekoittaa kannujen sisällön välillä lusikalla. Kuinka monta kertaa hänen pitää toistaa temppu, jotta hän pääsee tilanteeseen, jossa molemmissa kannuissa on samanlaista nestettä?

Epäilisin, että tässä tapauksessa toistoja saa tehdä hamaan tappiin asti, eikä koskaan päästä täydelliseen 50% - 50% tilanteeseen.

Toisaalta jos tarkoituksena on tehdä vain osapuilleen tasavahvuista Ranskalaista hellejuomaa, niin viitisentoista toistoa riittänee tarpeeksi lähelle pääsemiseen.

 

[Cesc]

Kuitenkin jos taas valvoja sanoo, että klaavoja on ainakin 9, mikä taas on oikeastaan alkuperäisen kysymyksen henki, tilanne onkin erilaisempi. Tällöin todennäköisyys 10. klaavalle on (1/2)^10, koska tällöin kyse onkin koko otosavaruudesta ja kyse onkin siitä, että mikä on todennäköisyys että kaikki 10 kolikkoa ovat klaavoja. Kruunan todennäköisyys taas on sen komplementti.

Minäkin teen näissä paljon huolimattomuusvirheitä, mutta kuvittelisin, että todennäköisyys olisi p(10 klaavaa)/(p(9 tai 10 klaavaa)=1/11, koska tiedetään, ettei klaavoja voi olla vähemmän kuin 9.

 

[mjr]

Niin, nähdäkseni on olennaista, kuten aiemminkin kautta rantain sanoin, että onko kysyjä a) päättänyt etukäteen kysyä tietyn kysymyksen ja sitten etsinyt siihen suotuisen sisarusparin (tai heitellyt kolikkoa kunnes sopiva kombinaatio tulee), jolloin kysymyksen vastaus olisi tn 1/3 vai onko kysyjä b) vasta sisarusparin nähdessään (tai kolikkoa heitettyään) päättänyt kysyä kysymyksensä ja kohdistaa sen sopivaan sukupuoleen (tai kolikon puoleen), jolloin vastaus olisi tn 1/2

Koska tätä ei tiedetä, ja voitaneen olettaa että todennäköisyys kummallekin vaihtoehdolle on 1/2; päädyn julistamaan korkeimpana totuutena alkuperäiseen kysymykseen "Mäkisillä on kaksi lasta, joista toinen on tyttö. Millä todennäköisyydellä myös toinen lapsi on tyttö?" vastauksen:

P(A) = 1/2*1/2 + 1/2*1/3 = 5/12 = 0,41666...

Nyt tekee mieli julistaa voittaja - tämä on minusta vastaansanomatonta päättelyä! Hieno tehtävä näin loppujen lopuksi ajateltuna, ja näistä kolmesta kilpailevasta vastauksesta tämä on ainoa joka ottaa loogisesti huomioon alkuperäisen tehtävänannon kielellisen tulkinnanvaraisuuden.

 

[palle fontän]

Minäkin teen näissä paljon huolimattomuusvirheitä, mutta kuvittelisin, että todennäköisyys olisi p(10 klaavaa)/(p(9 tai 10 klaavaa)=1/11, koska tiedetään, ettei klaavoja voi olla vähemmän kuin 9.

Ohhoh, sama vastaus kuin minulla!

 

[Major Julli]

Lisää

Olet jääkiekkojoukkueen toimitusjohtaja. Huippupakkisi on epäilty eilen olleen humalassa. Hänen agenttinsa on rajoittanut tilannetta niin, että asiakkaansa vastaa vain yhteen kysymykseen, ja siihenkin kyllä tai ei. Tämän lisäksi huippupakki on joka toinen päivä humalassa ja joka toinen ei. Ja olleensa humalassa hän valehtelee aina ja ollessaan selvänä hän puhuu totta. Miten selvität tällä yhdellä kysymyksellä oliko hän eilen humalassa?

 

[Pullasorsa]

Olet jääkiekkojoukkueen toimitusjohtaja. Huippupakkisi on epäilty eilen olleen humalassa. Hänen agenttinsa on rajoittanut tilannetta niin, että asiakkaansa vastaa vain yhteen kysymykseen, ja siihenkin kyllä tai ei. Tämän lisäksi huippupakki on joka toinen päivä humalassa ja joka toinen ei. Ja olleensa humalassa hän valehtelee aina ja ollessaan selvänä hän puhuu totta. Miten selvität tällä yhdellä kysymyksellä oliko hän eilen humalassa?

En tiedä, oliko tämä homman tarkoituskin vai menikö kysymys rikki kustomoinnin yhteydessä, mutta koska homma selviää melkein millä tahansa kysymyksellä, niin valitaan vaikka: "Asuuko paavi Vatikaanissa?" :)

 

[Major Julli]

En tiedä, oliko tämä homman tarkoituskin vai menikö kysymys rikki kustomoinnin yhteydessä, mutta koska homma selviää melkein millä tahansa kysymyksellä, niin valitaan vaikka: "Asuuko paavi Vatikaanissa?" :)

Tämä juuri oli idea, ratkaisu on erittäin yksinkertainen. Tarvitsee vain selvittää onko valehtelupäivä vai ei, sen jälkeen loppu on pääteltävissä.

 

[Pullasorsa]

Voi toki olla, että asian mennessä syvällisemmäksi, aiemmin opetetut teoriat myönnetäänkin sitten oletuksiksi, eli minulle opetettu "0.9999... :n raja-arvo on yksi" onkin ollut virheellinen teoria.

...

Aloin tuossakin pohtimaan sitä, että eikös suppenevan geometrisen sarjan summa ole myöskin raja-arvo? Siinähän lisätään aina vaan pienempää lukua jo saatuun summaan? Siinä mielessähän ainakaan sillä todistuksella ei tulla tässä yhteydessä hullua hurskaammaksi.

Jep, raja-arvoista on toki kyse, mutta reaalilukujen määritelmien mukaan nämä sarjat kuvaavat sitä reaalilukua, joka on se raja-arvo. (Tämä saattoi nyt olla matemaattisesti epäeksaktisti sanottu, mutta suunnilleen noin se on :))

Minulle opetetun mukaan tuo 1 on edelleen raja-arvo, jota kohti mennään, kun lisätään aina vaan pienempi luku nollan ja monen desimaaliyhdeksikön perään. Mutta tuota raja-arvoa ei silti saavutettaisi. Taidan nyt sortua tässä tähän Aristoteleen esittämään Xenon paradoksiin (vai mikä se nyt olikaan)...

En muista mikä paradoksi se oli, mutta tosiaan se, missä juostaan tms. aina puoleen väliin jäljellä olevasta matkasta niin, että jokaiseen matkaan kuluu äärellinen aika, ja paradoksin mukaan ei täten pitäisi koskaan päästä perille, on aika vastaava asia.

 

[Rodion]

Pöydällä on kaksi kolmentoista desilitran kannua, joista toisessa on litra vettä ja toisessa litra viiniä. Tarjoilija kaataa aina kerrallaan kolme desilitraa nestettä toisesta kannusta toiseen ja sekoittaa kannujen sisällön välillä lusikalla. Kuinka monta kertaa hänen pitää toistaa temppu, jotta hän pääsee tilanteeseen, jossa molemmissa kannuissa on samanlaista nestettä?

Matemaatikkojen mielestä nesteistä ei tule ikinä samanlaisia. Jos kannussa A on enemmän viiniä kuin kannussa B, A:han jää suurempi viinipitoisuus, kun siitä kaadetaan nestettä kannuun B. Vastaavasti kannuun B jää pienempi viinipitoisuus, kun siitä kaadetaan nestettä kannuun A. Induktioperiaatteen mukaan näin on, vaikka tarjoilija kaataisi viiniä kuinka monta kertaa edestakaisin. Nesteet sekoittuvat kokonaan vain, jos kaikki neste kaadetaan kerralla samaan kannuun.

Käytännössä tilanne on toinen, sillä neste ei jakaannu äärettömän pieniin osasiin. Jos kannusta otetaan lasillinen, viinimolekyylien pitoisuus lasillisessa ei ole sama kuin viinimolekyylien määrä kannussa, vaan poikkeaa siitä satunnaisen määrän. Jos lasillisessa näytteessä on n molekyyliä, vaihtelu on verrannollinen n:n neliöjuureen. Kun tarjoilija on kaatanut viiniä edestakaisin 47 kertaa, paraskaan homeopaatti ei enää erota kannujen sisältöä toisistaan.

 

[Pullasorsa]

Tämä juuri oli idea, ratkaisu on erittäin yksinkertainen. Tarvitsee vain selvittää onko valehtelupäivä vai ei, sen jälkeen loppu on pääteltävissä.

"Alkaako etunimesi J:llä?" olisi ehkä ollut kuitenkin vielä parempi, ettei tarvitse luottaa liikaa yleissivistykseen mahdollisena krapulapäivänä :).