Vekkulien arvoitusten kysymys- ja väittelyketju

[Mane]

Taikurilla on 3 samanlaista laatikkoa. Yhdessä niistä on palkinto. Valitset yhden laatikon, mutta et saa katsoa sen sisälle. Taikuri avaa jäljelle jääneistä laatikoista toisen, joka osoittautuu tyhjäksi ja antaa sinulle tilaisuuden vaihtaa laatikkoa mikäli haluat? Kannattaako sinun vaihtaa laatikkoa palkinnon toivossa? Onko tilanne nyt 50-50?

Perusteema sama kuin K. Paheron esittämässä lapsitehtävässä.

 

[mjr]

Jos on kaksi yhtä todennäköistä asiaa eikä mitään muita asioita, on 50% todennäköistä, että molemmat asiat esiintyvät kahden kappaleen otannassa. Vastaavasti on 50% todennäköistä, että kahden kappaleen otannassa on kaksi samaa asiaa. Tämä on matemaattinen tosiasia, johon tuon tehtävän ratkaisu perustuu.

Täysin kristallinkirkasta. Mutta Jussi77 luki tuon oheisen tehtävän, ehkä sinänsä ajatellen arkikokemusta, että "Mäkisillä on olemassa yksi lapsi, jonka sukupuolta ei tiedetä. Mikä todennäköisyys on sille että tämä lapsi on tyttö?" Sitten tuo toinen tappelus sukupuolijakautumasta oli puhdas väärinlaskelma, joka saa ihmettelemään, että jos kumminkin provoa.

 

[Vintsukka]

Taikurilla on 3 samanlaista laatikkoa. Yhdessä niistä on palkinto. Valitset yhden laatikon, mutta et saa katsoa sen sisälle. Taikuri avaa jäljelle jääneistä laatikoista toisen, joka osoittautuu tyhjäksi ja antaa sinulle tilaisuuden vaihtaa laatikkoa mikäli haluat? Kannattaako sinun vaihtaa laatikkoa palkinnon toivossa? Onko tilanne nyt 50-50?

Perusteema sama kuin K. Paheron esittämässä lapsitehtävässä.

Jaa niinku näin vai?

 

[varjo]

Taikurilla on 3 samanlaista laatikkoa. Yhdessä niistä on palkinto. Valitset yhden laatikon, mutta et saa katsoa sen sisälle. Taikuri avaa jäljelle jääneistä laatikoista toisen, joka osoittautuu tyhjäksi ja antaa sinulle tilaisuuden vaihtaa laatikkoa mikäli haluat? Kannattaako sinun vaihtaa laatikkoa palkinnon toivossa? Onko tilanne nyt 50-50?

Perusteema sama kuin K. Paheron esittämässä lapsitehtävässä.

Niin, vastahan tuolla viitisen sivua sitten jo postasin linkin Monty Hall-simulaattoriin, mutta ymmärrän kyllä että se on jäänyt huomaamatta.
Tuhat simulaatiokierrosta ja tulokset alkavat olla kiistattomia.

 

[Mane]

Valitettavasti en osaa lainkaan englantia (sitä se kai oli?) Joten missasin vallan.

 

[Master God]

Näin se kyllä menee. Jos et määrittele, että KUMPI niistä on klaava. Kruuna-Klaava kahden ottelun ottelusarjassa 1-1 on todennäköisin tulos, yhtä todennäköinen kuin 2-0 ja 0-2 yhteensä. Sulkiessasi 2-0-tuloksen pois ("toinen on heitoista oli klaava", eli toisin sanoen kerrot että ottelu ei päättynyt 2-0), on 1-1-tuloksen todennäköisyys 2/3.

Millä tavalla "toinen heitoista on klaava" sulkee pois sen, että toinenkin on? Sehän ei kerro siitä toisesta heitosta yhtään mitään.

Huom: En siis käytä muotoa "ainoastaan toinen heitoista on klaava".

 

[Tinke-80]

Taikurilla on 3 samanlaista laatikkoa. Yhdessä niistä on palkinto. Valitset yhden laatikon, mutta et saa katsoa sen sisälle. Taikuri avaa jäljelle jääneistä laatikoista toisen, joka osoittautuu tyhjäksi ja antaa sinulle tilaisuuden vaihtaa laatikkoa mikäli haluat? Kannattaako sinun vaihtaa laatikkoa palkinnon toivossa? Onko tilanne nyt 50-50?

Perusteema sama kuin K. Paheron esittämässä lapsitehtävässä.

En vaihda ikinä:

Valitsen yhden oikean oven kolmesta vaihtoehdosta. Todennäköisyys osua oikein on 33%

Vaihdan joka kerta:

Todennäköisyys osua väärään oveen ensimmäisellä kerralla on 66%.

väännetään rautalangasta:

vaihtoehto 1)
valitsen ensimmäisellä kerralla oikean oven. Todennäköisyys tälle: 33%. Vaihdan tämän jälkeen ovea jolloin pakosti avaan väärän oven.

vaihtoehto 2) Valitsen ensimmäisellä kerralla väärän oven. Todennäköisyys tälle: 66%. Vaihdan tämän jälkeen ovea jolloin pakosti avaan oikean oven.

- tinke.80

 

[Mane]

Millä tavalla "toinen heitoista on klaava" sulkee pois sen, että toinenkin on? Sehän ei kerro siitä toisesta heitosta yhtään mitään.

Huom: En siis käytä muotoa "ainoastaan toinen heitoista on klaava".

Ei se sitä pois suljekaan, mutta jos heitot menee 1 ja 1, voit tällaisessa tapauksessa vapaasti valita niistä kahdesta sen klaavan ja näyttää sen kaverillesi. Tämän takia todennäköisyys sille, että toinenkin on klaava ei ole 1/2. Vaan ainoastaan 1/3.

Sen sijaan, jos sovitaan jo ennen heittoa, että näytät tietyn kolikon tuloksen, niin toiselle tuleva todennäköisyys, että se on samaa merkkiä ensimmäisen kanssa on se 1/2.

 

[varjo]

Valitettavasti en osaa lainkaan englantia (sitä se kai oli?) Joten missasin vallan.

Öh?

Niin siis, Monty Hallin ongelmahan tuo taikuri-ongelmasi on ja Monty hallin ongelmaan on tehty tältä sivulta
http://www.mste.uiuc.edu/reese/monty/monty.htm
löytyvä kätevä simulaattori, jolla voi sitkeäuskoisinkin sitten varmistaa sen vaihdon kannattavuuden.
Näyttäisi 1000:n kierroksen simulaatiolla vaihtelevan tuo voittoprosentti siinä 64-68% välillä. Kun ottaa 20 000 kierrosta niin prosentit menevät siihen 66% tuntumaan.

 

[Mane]

Jep, koitin vitsailla tuon linkkisi sivun englanninkielisyyden kustannuksella. Tosiasiassa jäi vain huomiotta tuolloin aiemmin.

 

[Franchi]

Kyse on kahdesta eri tehtävästä. Suomi on yksi viidestä pohjoismaasta mutta yksi 44 euroopan maasta. Huomaatko eron?

Täysin irrelevantti esimerkki alkuperin esittämääni verrattuna. Mutta koska emme onnistuneet tätä asiaa n. 9 sivun aikana ilmeisesti riittävästi selventämään, on varmasti melko yhdentekevää, mitä tähänkin viestiin kirjailen.

Suosittelen tilastomatematiikan kurssia, jos asiasta oppiminen kiinnostaa. En tosin usko, että tätä esimerkkiä enää enemmän voi rautalangasta vääntää kuin mitä tässäkin ketjussa on tehty.

 

[Eeyore]

Pelivälineet:
2 kappaletta virheettömiä euron kolikoita.

Pelaajat:
1 vastustaja
1 minä

Valvoja:
2 puolueetonta valvojaa. Valvojien palkkio on 100 euroa, josta 50 euroa maksaa vastustaja ja 50 euroa minä.

Pelisäännöt:
Vastustaja heittää molemmat kolikot piilossa minulta. Tämän jälkeen hän kertoo totuudenmukaisesti valitsemansa kolikon tuloksen. Jos arvaan toisen kolikon tuloksen oikein, voitan 20 euroa. Muutoin häviän 30 euroa. Peliä pelataan 500 heittoparin sarjoissa.


Löytyykö vastustajia? Jussi77? Master God?

 

[Master God]

Pelivälineet:
2 kappaletta virheettömiä euron kolikoita.

Pelaajat:
1 vastustaja
1 minä

Valvoja:
2 puolueetonta valvojaa. Valvojien palkkio on 100 euroa, josta 50 euroa maksaa vastustaja ja 50 euroa minä.

Pelisäännöt:
Vastustaja heittää molemmat kolikot piilossa minulta. Tämän jälkeen hän kertoo totuudenmukaisesti valitsemansa kolikon tuloksen. Jos arvaan toisen kolikon tuloksen oikein, voitan 20 euroa. Muutoin häviän 30 euroa. Peliä pelataan 500 heittoparin sarjoissa.


Löytyykö vastustajia? Jussi77? Master God?

Eli jos arvaat oikein, minä annan sinulle 20 e ja jos väärin, niin sinä annat minulle 30 e? Voidaan pelata koska tahansa.

 

[Tinke-80]

Eli jos arvaat oikein, minä annan sinulle 20 e ja jos väärin, niin sinä annat minulle 30 e? Voidaan pelata koska tahansa.

Jos kaipaat ikinä pelaajaa tähän peliin niin olen vapaaehtoinen (sillä ehdolla että sinä heität kokoajan kolikkoa). Mulla ois just käyttöä n. 1500 eurolle.

- tinke.80

 

[Eeyore]

Ilmainen raha kelpaa aina. Tuossa meinaan vastustaja (Master God) jää melko hyvin voitolle. Itseasiassa odotusarvoisesti häviäisin 2500 euroa. En halua pelata. =)

 

[Kaivanto]

Jos olet sitä mieltä, että ne ovat yhtä todennäköisiä, olet samalla myös sitä mieltä, että on yhtä todennäköistä saada kymmenellä heitolla kymmenen peräkkäistä kruunaa kuin viisi klaavaa ja viisi kruunaa.

Periaatteessa, eikös näin olekin? Jokainen heitto on samanlaisen sattuman varassa kuin muutkin joten jotta saataisiin tietynlainen ketju heittoja vaatii yhtäläiset onnistumiset - haluttiimpa sitten samoja tai eri tuloksia.

Suosittelen nopanheittoa ammatiksi - snake eyes maksaa tolkuttomasti, vaikka kaikki nopan silmäluvut ovat yhtä todennäköisiä (kunhan noppa on tarkasti kuution muotoinen eikä painotettu!)

Summataksemme, missä nyt olemme, tällä hetkellä sinun mielestäsi kymmenen peräkkäistä kruunaa/tyttöä/poikaa tulee todennäköisyydellä 1/11 ja kymmenen peräkkäistä samaa (kruunaa tai klaavaa, tyttöä tai poikaa) todennäköisyydellä 2/11.

Tämä jälkimmäinen vastaa pitkävetokerrointa 5,50, mutta olen kyllä valmis ottamaan vetoja vastaan vaikka kertoimella 55. No olkoon vaikka sata (neuvotteluvaraa on vähän yli viiteensataan). Maksat siis minulle panoksen, heität kolikkoa kymmenen kertaa ja jos saat jokaisella heitolla kolikon saman puolen, maksan sinulle panoksesi satakertaisesti takaisin, vaikka oikeasti onnistut tässä kahdella yrittämällä yhdestätoista. Koska aloitetaan?

 

[Master God]

Ei se sitä pois suljekaan, mutta jos heitot menee 1 ja 1, voit tällaisessa tapauksessa vapaasti valita niistä kahdesta sen klaavan ja näyttää sen kaverillesi. Tämän takia todennäköisyys sille, että toinenkin on klaava ei ole 1/2. Vaan ainoastaan 1/3.

Se, että kerron sen toisen tuloksen, ei liity millään tavalla siihen, mikä sen toisen heiton tulos on. Ne kaksi heittoa ovat, tilastotieteen terminologiaa käyttäen, riippumattomia tapahtumia.

 

[Master God]

Suosittelen nopanheittoa ammatiksi - snake eyes maksaa tolkuttomasti, vaikka kaikki nopan silmäluvut ovat yhtä todennäköisiä (kunhan noppa on tarkasti kuution muotoinen eikä painotettu!)

Summataksemme, missä nyt olemme, tällä hetkellä sinun mielestäsi kymmenen peräkkäistä kruunaa/tyttöä/poikaa tulee todennäköisyydellä 1/11 ja kymmenen peräkkäistä samaa (kruunaa tai klaavaa, tyttöä tai poikaa) todennäköisyydellä 2/11.

Tämä jälkimmäinen vastaa pitkävetokerrointa 5,50, mutta olen kyllä valmis ottamaan vetoja vastaan vaikka kertoimella 55. No olkoon vaikka sata (neuvotteluvaraa on vähän yli viiteensataan). Maksat siis minulle panoksen, heität kolikkoa kymmenen kertaa ja jos saat jokaisella heitolla kolikon saman puolen, maksan sinulle panoksesi satakertaisesti takaisin, vaikka oikeasti onnistut tässä kahdella yrittämällä yhdestätoista. Koska aloitetaan?

Sanotko vielä, mistä sait tuon 1/11 lukeman?

Todennäköisyys siis sille, että kolikonheitosta tulee 10 samaa 10 heitolla, on 2*0,5^10 = 1/512. Tämän ilmeisesti tiesit, mutta mistä sait tuon 1/11?

 

[Kaivanto]

Sanotko vielä, mistä sait tuon 1/11 lukeman?

Todennäköisyys siis sille, että kolikonheitosta tulee 10 samaa 10 heitolla, on 2*0,5^10 = 1/512. Tämän ilmeisesti tiesit, mutta mistä sait tuon 1/11?

Tästä viestistäni, josta alkaneen keskustelun jatke lainaamasi pätkä oli. Jussi77:n mukaan kunkin yhdistelmän todennäköisyys on sama riippumatta siitä, moniko kombinaatio siihen johtaa.

 

[Mane]

Kyllä se poijaat niin on, että ainakin Jussi77 ja Master God tässä ovat koko ajan olleet oikeassa ja me lähes kaikki muut Tieteen Kuvalehteä myöten(?) väärässä. (näköjään olen itsekin vielä ketjun avaussivulla ollut oikeassa, mutta tottahan on, että kun tarpeeksi takkia kääntelee, niin jossain vaiheessa menee oikeinkin)


Rupesin tässä yön tunteina oikein tosissani pohdiskelemaan tuon "eeyore":n ilmeisesti tarkoituksellisen
kilpailupiikin perusteella ja en kyllä muuhun tulokseen voi tulla.

Koitetaanpa rautalankaa vääntäen ja tällä kertaa toivottavasti oikein:

Mahdollisia vaihtoehtokombinaatioita on 4. Normaali todennäköisyyslasku siis.

TYTTÖ - tyttö 1/4
TYTTÖ - poika 1/4
POIKA - tyttö 1/4
POIKA - poika 1/4

Meille kerrotaan, että toinen sisaruksista on tyttö. Jää toki jäljelle kolme kombinaatiota, mutta neljä mahdollista tyttöä. (tähän miinaan ajoimme)
Äskeisen kohdan voi siis tässä vaiheessa nakata romukoppaan.

TYTTÖ1- TYTTÖ2
TYTTÖ3- poika
poika - TYTTÖ4

Jonkun näistä on meille kerrottu olevan olemassa. 50 prosentin todennäköisyydellä sisaruksensa on myös tyttö. (siis jos olemassa oleva on tyttö1 tai tyttö2)


Tarkemmin sanottuna vaikka Tp-pareja onkin lähtökohtaisesti kaksi kertaa enemmän kuin Tt-pareja, niin olemme jo tietämättämme blokanneet joko tp:n tai pt:n pois saatuamme lisäinformaatiota,
eikä sillä ole meille mitään väliä kumman, sillä ne ovat samanarvoisia.

Ja lopultakin, sillä kehittelemällämme järjestyksellä ei ole mitään väliä, koska toinen sekapareistakin kumoutuu riippumatta onko tietoomme saama tyttö vanhempi vai nuorempi.

Ja Monty Hallin ongelman kanssa ei tällä "ongelmalla" (jonka voisi yksinkertaistaa muotoon tuleeko yhdellä heitolla kruuna vai klaava) ole mitään tekemistä.


Sen sijaan tuo lantinheittojuttu meni kyllä puolestaan Jussi77:ltä pahasti metsään.

 

[Master God]

Tästä viestistäni, josta alkaneen keskustelun jatke lainaamasi pätkä oli. Jussi77:n mukaan kunkin yhdistelmän todennäköisyys on sama riippumatta siitä, moniko kombinaatio siihen johtaa.

Okei. Hetken kun yrittää tehdä töitä, niin heti on huomaamatta ilmestynyt kymmenkunta sivua juttua. Meni ohi aivan täysin.

Keskustelun tasoa saattaa indikoida se, etten tosiaan huomannut että väliin oli tullut tavattomasti sivuja.

 

[Johnny99]

Niin, tämä tyttö-poika-juttuhan on simppeli. Kysymys on siitä, miten tehtävän ymmärtää. Jos lähdetään siitä, että Mäkisillä ei ole vielä yhtään tevanaa, todennäköisyys sille, että he saisivat kaksi tyttöä on 25%. Eikö? Tällöin myös poika-poika-kombinaatiokin olisi mahdollinen. Tällöin kysymyksen pitäisi olla esim. "Mäkisen pariskunta aikoo hankkia lapsia, millä todennäköisyydellä he tulevat saamaan kaksi tyttöä?"

Mutta kun _tiedetään jo_, että toinen heidän lapsistaan on tyttö. Tehtävän alussa sanotaan, että toinen on tyttö. Kysymys on siis ainoastaan siitä, millä todennäköisyydellä toinenkin on tyttö. Eli fifty-fifty.

Sanotaan että on hedelmäpeli, jossa kaksi rullaa. Molemmissa yhtäläinen määrä pojan ja tytön kuvia. Jos saat lukita toisen rullan, kuten tehtävän alussa toinen on "lukittu" tytöksi, niin eikö silloin todennäköisyys saada sama kuvio ole 50%?

 

[oukka]

Niin, tämä tyttö-poika-juttuhan on simppeli. Kysymys on siitä, miten tehtävän ymmärtää. Jos lähdetään siitä, että Mäkisillä ei ole vielä yhtään tevanaa, todennäköisyys sille, että he saisivat kaksi tyttöä on 25%. Eikö? Tällöin myös poika-poika-kombinaatiokin olisi mahdollinen. Tällöin kysymyksen pitäisi olla esim. "Mäkisen pariskunta aikoo hankkia lapsia, millä todennäköisyydellä he tulevat saamaan kaksi tyttöä?"

Mutta kun _tiedetään jo_, että toinen heidän lapsistaan on tyttö. Tehtävän alussa sanotaan, että toinen on tyttö. Kysymys on siis ainoastaan siitä, millä todennäköisyydellä toinenkin on tyttö. Eli fifty-fifty.

Sanotaan että on hedelmäpeli, jossa kaksi rullaa. Molemmissa yhtäläinen määrä pojan ja tytön kuvia. Jos saat lukita toisen rullan, kuten tehtävän alussa toinen on "lukittu" tytöksi, niin eikö silloin todennäköisyys saada sama kuvio ole 50%?

Täsmälleen näin.

Täällä on joukko ihmisiä tehnyt oletuksia jopa siitä kumpi lapsi tuli ensin, vaikka tehtävänannon mukaan he ovat "toinen" ja "toinen". Voiko tuosta muka päätellä kumpi on aikajärjestyksessä ensimmäinen?

 

[Vintsukka]

Meille kerrotaan, että toinen sisaruksista on tyttö. Jää toki jäljelle kolme kombinaatiota, mutta neljä mahdollista tyttöä. (tähän miinaan ajoimme) Äskeisen kohdan voi siis tässä vaiheessa nakata romukoppaan.

TYTTÖ1- TYTTÖ2
TYTTÖ3- poika
poika - TYTTÖ4

Jonkun näistä on meille kerrottu olevan olemassa. 50 prosentin todennäköisyydellä sisaruksensa on myös tyttö. (siis jos olemassa oleva on tyttö1 tai tyttö2)

Tehtävässä mahdollisia tapauksia ovat kaikki kaksilapsiset perheet, joissa on vähintään yksi tyttö, ja suotuisia tapauksia kaksilapsiset perheet, joiden molemmat lapset ovat tyttöjä.

Esittämässäsi mallissa on 50% todennäköisyys että kohdalle sattuu kaksityttöinen perhe ja 50% todennäköisyys että kohdalle osuvassa perheessä on tyttö-poika-pari. Tämä on ristiriidassa ensimmäisen väitteesi kanssa, jonka mukaan kaikki kolme yhdistelmää ovat yhtä todennäköisiä.

 

[Tinke-80]

Todennäköisyys siihen että toinenkin lapsista on tyttö on 33%. Kokeilkaa sitä kolikkoteoriaa ni tajuatte sen. Itsekin olin alussa väärässä.

- tinke.80