Vekkulien arvoitusten kysymys- ja väittelyketju

[Lawless]

Mutta kun _tiedetään jo_, että toinen heidän lapsistaan on tyttö. Tehtävän alussa sanotaan, että toinen on tyttö. Kysymys on siis ainoastaan siitä, millä todennäköisyydellä toinenkin on tyttö. Eli fifty-fifty.

Sanotaan että on hedelmäpeli, jossa kaksi rullaa. Molemmissa yhtäläinen määrä pojan ja tytön kuvia. Jos saat lukita toisen rullan, kuten tehtävän alussa toinen on "lukittu" tytöksi, niin eikö silloin todennäköisyys saada sama kuvio ole 50%?

Ööh...miksi tällaista tietoa edes annetaan, joka ei vaikuta lopputulokseen? Harhauttamiseksi? Yhtä hyvin tehtävänanto voisi olla: "Heille on tulossa lapsi. Millä todennäköisyydellä se on tyttö?" Itse ihmettelen aina muutenkin tätä hommaa, että miksi esim. RAY:n Kakkospokerissa (vai mitä näitä nyt onkaan, en ole moneen vuoteen pelannut) näytetään tuplauksessa edellisten tuplauksien tulokset (eli mikä kortti sieltä on tullut). Eihän tuossakaan tapauksessa se vaikuta pätkääkään, mitä on aikaisemmin tapahtunut.

 

[oukka]

Ööh...miksi tällaista tietoa edes annetaan, joka ei vaikuta lopputulokseen? Harhauttamiseksi?

Jos muistelet yhtään kouluaikojen todennäköisyystehtäviä, huomaat että kyllähän siellä oli relevantin tiedon seassa aina sitä irrelevanttiakin. Siinähän se koko juju onkin, että pitää erottaa tarpeellinen tieto tarpeettomasta.

 

[palle fontän]

Vlad muuten räjäytti pankin...

Tässä teille visainen:

Otetaan kaikki Suomen kaksilapsiset perheet, joissa on vähintään yksi tyttö. Millä todennäköisyydellä myös toinen lapsi on tyttö?

 

[JimmyMac]

Todennäköisyys siihen että toinenkin lapsista on tyttö on 33%. Kokeilkaa sitä kolikkoteoriaa ni tajuatte sen. Itsekin olin alussa väärässä.

- tinke.80

Eihän ole. Jos lapsia on kaksi, joista toinen on tyttö, niin vaihtoehtoja on yhteensä neljä (lihavoituna jo tiedossa oleva tyttö):
isosisko - pikkuveli
isoveli - pikkusisko
isosisko - pikkusisko
isosisko - pikkusisko

Eli, kun toinen on tyttö, niin on 50% mahdollisuus sille, että toinenkin on tyttö. Se, mihin porukka on tässä haksahtanut on se, että on unohdettu, että tiedossa oleva tyttö voi olla joko isosisko tai pikkusisko, eli mahdollisia tyttö-tyttö-parejakin on kaksi.

 

[kantriantero]

x = 0,99... || * 10
10x = 9,99... || - x
9x = 9 || :9
x = 1

Juu, en ole matemaatikko mutta jotenkin noin se meni.

-tinke.80

Ihan oikein. Tuohan on aivan oppikirjan mukainen menetelmä minkä hyvänsä jaksollisen desimaaliesityksen muuntamiseksi osamäärämuotoon (toisin kuin jotkut algebran sankarit yrittivät täällä väittää).

Tässä tapauksessa kyse on siitä, että sama reaaliluku voidaan esittää eri muodoissa. Tuntuu hassulta, mutta 0,99... on todellakin sama luku kuin 1 (ihan niin kuin 1/3 = 0,33... ja 2/3 = 0,66...).

Asia voidaan todistaa monilla muillakin tavoilla kuin tuolla Tinke-80:n esittämällä, joita voi tutkiskella vaikka täältä:

http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_0.999..._equals_1

Pojat ja tytötkin on dokumentoitu samaan lähteeseen:

http://en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl

 

[Tinke-80]

Ihan oikein. Tuohan on aivan oppikirjan mukainen menetelmä minkä hyvänsä jaksollisen desimaaliesityksen muuntamiseksi osamäärämuotoon (toisin kuin jotkut algebran sankarit yrittivät täällä väittää).

Tässä tapauksessa kyse on siitä, että sama reaaliluku voidaan esittää eri muodoissa. Tuntuu hassulta, mutta 0,99... on todellakin sama luku kuin 1 (ihan niin kuin 1/3 = 0,33... ja 2/3 = 0,66...).

Asia voidaan todistaa monilla muillakin tavoilla kuin tuolla Tinke-80:n esittämällä, joita voi tutkiskella vaikka täältä:

http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_0.999..._equals_1

Mitä hemmettiä? Minä olin oikeassa? Järkyttävää.

- tinke.80

Ps. Duunipernalle taas terveisiä.

 

[JimmyMac]

Pojat ja tytötkin on dokumentoitu samaan lähteeseen:

http://en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl

Paitsi, että tuollakin se on selitetty väärin.

 

[Sistis]

http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_0.999..._equals_1

Saatan olla typerä, mutta minä siltikin vastustan yhtä ajatusta tästä wikipedian jutusta. Nimittäin seuraavaa:

The standard method used to convert the fraction 1⁄3 to decimal form is long division, and the well-known result is 0.3333…, with the digit 3 repeating. Multiplication of 3 times 3 produces 9 in each digit, so 3 × 0.3333… equals 0.9999…; but 3 × 1⁄3 equals 1, so it must be the case that 0.9999… = 1.

Minä olen nimittäin sitä mieltä, että 3 x 0.33333.... ei ole sama, kuin 0.999999.... vaan puhtaasti 1.

Tosin, oma matemaattinen osaamiseni koostuu lukion pitkästä matematiikasta (laudatur) sekä TTY:ltä kerätyistä 22 opintoviikosta (Insinöörimatematiikka 1 ja 2, Algoritmimatematiikka, Tilastomatematiikka, Fourier'n menetelmät ja vektorianalyysi). Tuon teorian on varmaankin esittänyt joku matematiikan professori, jolla on enemmän aiheeseen kompetenssia.

Oma mielipiteeni on kuitenkin, että päättymätön desimaaliluku on vain ja ainoastaan likiarvo, ja koko höskä pitäisi laskea murtoluvuilla.

 

[DanC]

Tässä tapauksessa kyse on siitä, että sama reaaliluku voidaan esittää eri muodoissa. Tuntuu hassulta, mutta 0,99... on todellakin sama luku kuin 1 (ihan niin kuin 1/3 = 0,33... ja 2/3 = 0,66...).

Asia voidaan todistaa monilla muillakin tavoilla kuin tuolla Tinke-80:n esittämällä, joita voi tutkiskella vaikka täältä:

http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_0.999..._equals_1
[/url]

Jos tarkastellaan esim. lukuja 1 ja 0.99, niiden ero on 0.01.
Vaikka esitykseen lisättäisiin loputtomasti 9-desimaaleja (0.999...), niin ero lukujen 1 ja 0.999... välillä on aina olemassa. Eli kyseessä ei ole sama luku.

 

[palle fontän]

Eihän ole. Jos lapsia on kaksi, joista toinen on tyttö, niin vaihtoehtoja on yhteensä neljä (lihavoituna jo tiedossa oleva tyttö):
isosisko - pikkuveli
isoveli - pikkusisko
isosisko - pikkusisko
isosisko - pikkusisko

Eli, kun toinen on tyttö, niin on 50% mahdollisuus sille, että toinenkin on tyttö. Se, mihin porukka on tässä haksahtanut on se, että on unohdettu, että tiedossa oleva tyttö voi olla joko isosisko tai pikkusisko, eli mahdollisia tyttö-tyttö-parejakin on kaksi.

Kaksilapsiset perheet:

T + T = 1/4
P + P = 1/4
T + P = 1/2, järjestyksellä ei väliä

T + P -kombinaatioita on kaksi kertaa enemmän kuin T+T -kombinaatioita.

 

[Lawless]

Jos tarkastellaan esim. lukuja 1 ja 0.99, niiden ero on 0.01.
Vaikka esitykseen lisättäsiin loputtomasti 9-desimaaleja (0.999...), niin ero lukujen 1 ja 0.999... välillä on aina olemassa. Eli kyseessä ei ole sama luku.

Olen sitä mieltä, että 0,999... ei ole 1, vaan mielivaltaisen lähellä lukua 1. Tosin tämä taitaa olla näitä ikuisuusaiheita, joista voidaan aina kiistellä (mutta joilla ei ole käytännön merkitystä).

EDIT:

T + P -kombinaatioita on kaksi kertaa enemmän kuin T+T -kombinaatioita.

Eipäs ole, vaan kaksi kertaa niin paljon kuin T+T -kombinaatioita. Nimittäin kaksi kertaa enemmän = kolme kertaa niin paljon.

 

[palle fontän]

Olen sitä mieltä, että 0,999... ei ole 1, vaan mielivaltaisen lähellä lukua 1. Tosin tämä taitaa olla näitä ikuisuusaiheita, joista voidaan aina kiistellä (mutta joilla ei ole käytännön merkitystä).

Tämä on mielestäni aihe, joka kannattaa jättää väliin, kun olemme kuitenkin maallikoita. Jos joku ei ole, niin kukaan ei sitä ymmärrä.

 

[Kyylä]

No on äidinkielessäkin parantamisen varaa...

"Jos pullo ja korkki maksaa yhteensä 1,50e ja pullo maksaa euron enemmän kuin korkki, niin mikä on korkin hinta?"

...pullo ja korkki maksavat...

 

[palle fontän]

EDIT:Eipäs ole, vaan kaksi kertaa niin paljon kuin T+T -kombinaatioita. Nimittäin kaksi kertaa enemmän = kolme kertaa niin paljon.

Tämä on kyllä hieno ketju :)

 

[JimmyMac]

Kaksilapsiset perheet:

T + T = 1/4
P + P = 1/4
T + P = 1/2, järjestyksellä ei väliä

T + P -kombinaatioita on kaksi kertaa enemmän kuin T+T -kombinaatioita.

Alkuperäinen kysymys:

Mäkisillä on kaksi lasta, joista toinen on tyttö?

Eli hän on joko isosisko tai pikkusisko

Millä todennäköisyydellä myös toinen lapsi on tyttö?

Tämä toinen lapsi on ensimmäisen lapsen...
- Pikkusisko (25%)
- Isosisko (25%)
- Pikkuveli (25%)
- Isoveli (25%)

Eli 50% mahdollisuus, että toinen lapsi on naispuolinen.

 

[Dhearted]

Siis tämä tyttö-poika onglema on samanhenkinen kuin klassinen "kolme ovea kilpailu". Onkos Jussi77 kuullut siitä?

Eli, sinun pitää arvata minkä oven takan on palkinto ja minkä ei. Valitset yhden oven, ja juontaja näyttää kahdesta jäljelle jääneestä yhden tyhjän. Kannattaako sinun vaihtaa päätöstäsi?

Tyttö-poika onglemasta vielä, ihan perus todennäköisyyssääntöjen mukaan järjestyksellä on aina väliä, eli aaaab on eri asia kuin aaaba.

 

[palle fontän]

Tyttö-poika onglemasta vielä, ihan perus todennäköisyyssääntöjen mukaan järjestyksellä on aina väliä, eli aaaab on eri asia kuin aaaba.

No voi jumalauta, kirjoitetaan sitten auki.

T+T = 1/4
P+P = 1/4
T+P = 1/4
P+T = 1/4

=> T+P = 1/2, järjestyksellä ei väliä

P.S. En muuten edes tiedä, että viittasitko minun viestiini...

 

[palle fontän]

Eli, sinun pitää arvata minkä oven takan on palkinto ja minkä ei. Valitset yhden oven, ja juontaja näyttää kahdesta jäljelle jääneestä yhden tyhjän. Kannattaako sinun vaihtaa päätöstäsi?

Tottakai!

 

[V-man]

Alkuperäinen kysymys:

Mäkisillä on kaksi lasta, joista toinen on tyttö?

Eli hän on joko isosisko tai pikkusisko

Millä todennäköisyydellä myös toinen lapsi on tyttö?

Tämä toinen lapsi on ensimmäisen lapsen...
- Pikkusisko (25%)
- Isosisko (25%)
- Pikkuveli (25%)
- Isoveli (25%)

Eli 50% mahdollisuus, että toinen lapsi on naispuolinen.

Näin minäkin sen ymmärrän tällä hetkellä (Tosin mieli muuttuu joka toisen viestin jälkeen).

Eli tiedämme että on olemassa tyttö, sanotaan häntä nyt Liisaksi. Onko Liisalla sisko vai veli? Kai se nyt on fiftyfifty?

 

[RB]

Edelleen, http://en.wikipedia.org/wiki/Kolmogorov_axioms

Ehdollisen todennäköisyyden kaavassa:

P(B|A) = P(B tyttö EHDOLLA että A tyttö)
P(B ja A) = P(molemmat tyttöjä)
P(A) = P(toinen on tyttö)

joten koska P(A) = 1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4, vaihtoehdot summattuna, jossa ainakin toinen on tyttö, eli pareissa TT, TP ja PT, joiden jokaisen parin todennäköisyys on 1/4.

Tällöin kaava (MYÖSKIN!) antaa tehtävään tuloksen 1/3. Eikös se ole jo herranjumala todistettu.

Edit: onnistuihan se linkitys.

 

[JimmyMac]

joten koska P(A) = 1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4, vaihtoehdot summattuna, jossa ainakin toinen on tyttö, eli pareissa TT, TP ja PT, joiden jokaisen parin todennäköisyys on 1/4.

Kuten Mane tuolla jo sanoi, niin kombinaatioita on tosiaan kolme, MUTTA tuossa ensimmäisessä TT-kombinaatiossa tunnettu tyttö voi olla kumpi tahansa T, eli se täytyy ottaa mukaan kaksi kertaa, jolloin saadaan:
TT
TT
TP
PT

Eli 50%.

 

[palle fontän]

Kuten Mane tuolla jo sanoi, niin kombinaatioita on tosiaan kolme, MUTTA tuossa ensimmäisessä TT-kombinaatiossa tunnettu tyttö voi olla kumpi tahansa T, eli se täytyy ottaa mukaan kaksi kertaa, jolloin saadaan:
TT
TT
TP
PT

Eli 50%.

Eli tyttö-tyttö -sisaruksia on yhtä paljon kuin sekapareja?

 

[mjr]

Näin minäkin sen ymmärrän tällä hetkellä (Tosin mieli muuttuu joka toisen viestin jälkeen).

Eli tiedämme että on olemassa tyttö, sanotaan häntä nyt Liisaksi. Onko Liisalla sisko vai veli? Kai se nyt on fiftyfifty?

Näin se menee arkiajattelun mukaan - Twitellä oli jossain valaiseva kommentti siitä, miten tehtävänasettelu pitäisi nähdä matemaattisena ongelmana, ja varjo sanoi saman puhuessaan otosavaruudesta. Ongelma on epätäsmällisen arkikielen käytössä formaalisti eksaktin matemaattisen tehtävän antoon. Minusta ei ole mitenkään yksiselitteistä yhdistää nämä kaksi kieltä toisiinsa vaan se tapahtuu spesifin kulttuurisen konvention kautta, mutta se on sitten eri debatin aihe. Itse laskuhan täysin yksiselitteinen jos nämä reunaehdot hyväksytään - niillä tiedoilla todennäköisyys on 1/3. Ainoa mistä voi legitiimisti jankata on alkuperäisen tehtävän sanamuodon merkitys.

 

[Lorvi]

Mitähän helvettiä, aivot räjähtää kun yrittää tätä kaikkien ihmisten uusinta keksintöä kokeilla eli ajattelua.

Mie en pärjää aivoleikeissä.

 

[Vintsukka]

Kuten Mane tuolla jo sanoi, niin kombinaatioita on tosiaan kolme, MUTTA tuossa ensimmäisessä TT-kombinaatiossa tunnettu tyttö voi olla kumpi tahansa T, eli se täytyy ottaa mukaan kaksi kertaa, jolloin saadaan:
TT
TT
TP
PT

Eli 50%.

Jos poikaparia ei jätettäisi huomioimatta, esittämäsi mallin mukaan kaikki mahdolliset kaksilapsiset perheet jakautuisivat näin:
TT
TT
TP
PT
PP
PP

Tässä mallissa on kaksi kertaa todennäköisempää että toinen lapsi on samaa sukupuolta ensimmäisen kanssa, mikä ei pidä paikkaansa. Sitä TT-paria ei siis voi ottaa kahteen kertaan huomioon.