Vekkulien arvoitusten kysymys- ja väittelyketju

[oukka]

Edelleen, http://en.wikipedia.org/wiki/Kolmogorov_axioms

Ehdollisen todennäköisyyden kaavassa:

P(B|A) = P(B tyttö EHDOLLA että A tyttö)
P(B ja A) = P(molemmat tyttöjä)
P(A) = P(toinen on tyttö)

joten koska P(A) = 1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4, vaihtoehdot summattuna, jossa ainakin toinen on tyttö, eli pareissa TT, TP ja PT, joiden jokaisen parin todennäköisyys on 1/4.

Tällöin kaava (MYÖSKIN!) antaa tehtävään tuloksen 1/3. Eikös se ole jo herranjumala todistettu.

Edit: onnistuihan se linkitys.

Muistapa taas se alkuperäinen väite.

"Mäkisillä on kaksi lasta, joista toinen on tyttö. Millä todennäköisyydellä myös toinen lapsi on tyttö?"

Kysymys on vain siitä millä todennäköisyydellä tämä jälkimmäisessä lauseessa mainittu lapsi on tyttö. Ja se on 50%. Tuon myös sanan ainoa funktio on kertoa että toisessa lauseessa puhutaan eri "toisesta lapsesta". Huomaa että molemmat lapset ovat "toisia", jolloin on ilmiselvää ettei sillä tarkoiteta lasten järjestysnumeroa.

Jos kysyttäisiin "millä todennäköisyydellä molemmat lapset ovat tyttöjä?", pitäisi toisenkin lapsen sukupuoli ottaa huomioon. Nyt kysytään vain sen lapsen, jonka sukupuolta ei ole erikseen mainittu, todennäköisyyttä olla tyttö.

 

[Snaipperi #16]

Tuossa jossain vaiheessa oli peräkkäisistä numeroista lottorivissä, vaikka se kuuluisa 1 2 3 4 5 6 7, niin se on ihan yhtä todennäköinen kuin muutkin. Todennäköisyys tuollaiseen on ihan samanlainen kuin muihinkin lottoriveihin. Jos heität vaikka nopalla ensimmäisen heiton nro:ksi 1 ja toista kun alat heittämään niin on edelleen 1/6 mahdollisuus että tulee 2.

 

[oukka]

Onhan täällä moneen kertaa jo sanottu, ettei järjestyksellä ole väliä.
Ei kannata sotkea kuvioitaan ajattelemalla termejä "isosisko" ja "pikkusisko".
Ajattele vain T-P, P-T, T-T pareja.
Mikä ihmeen "tunnettu tyttö"?

Jos kerran järjestyksellä ei ole väliä, niin miksi sinulla on tuossa erikseen parit T-P ja P-T?

 

[RB]

Muistapa taas se alkuperäinen väite.

"Mäkisillä on kaksi lasta, joista toinen on tyttö. Millä todennäköisyydellä myös toinen lapsi on tyttö?"

Kysymys on vain siitä millä todennäköisyydellä tämä jälkimmäisessä lauseessa mainittu lapsi on tyttö. Ja se on 50%. Tuon myös sanan ainoa funktio on kertoa että toisessa lauseessa puhutaan eri "toisesta lapsesta". Huomaa että molemmat lapset ovat "toisia", jolloin on ilmiselvää ettei sillä tarkoiteta lasten järjestysnumeroa.

Jos kysyttäisiin "millä todennäköisyydellä molemmat lapset ovat tyttöjä?", pitäisi toisenkin lapsen sukupuoli ottaa huomioon. Nyt kysytään vain sen lapsen, jonka sukupuolta ei ole erikseen mainittu, todennäköisyyttä olla tyttö.

Miksi ihmeessä sitten tehtävänannossa on mainittu myös toisen lapsen olevan tyttö? Eli miksi ratkaisijan täytyy tietää, että toinen lapsi on VARMASTI tyttö?!? Olisikohan juuri siitä syystä, että se antaa ehdon, reunaehdon, sille todennäköisyydelle, että toinenkin on tyttö.

Muutenhan voitaisiin kysyä vain, että millä todennäköisyydellä kaksilapsisen perheen toinen lapsi on tyttö. Eli 50%. Onko tuo siis sama kysymys kuin alunperin esitetty??

 

[Mane]

Jos meille kerrotaan, että toinen on tyttö, niin neljästä alkuperäisestä vaihtoehdosta putoavat pois parit PP ja joko PT tai TP. Sillä ei ole meille väliä kumpi, koska ne ovat saman arvoisia.

jää: TT 1/2 ja PT/TP 1/2


Tähän tulokseen tulin yöllä pähkäiltyäni. Jos tehtävän annossa ei kerrottaisi toisen olevan tyttö, niin todennäköisyys sille, että ainakin toinen on tyttö olisi 3/4. Ja täsmälleen toinen on tyttö 1/2.

 

[oukka]

Miksi ihmeessä sitten tehtävänannossa on mainittu myös toisen lapsen olevan tyttö? Eli miksi ratkaisijan täytyy tietää, että toinen lapsi on VARMASTI tyttö?!? Olisikohan juuri siitä syystä, että se antaa ehdon, reunaehdon, sille todennäköisyydelle, että toinenkin on tyttö.

Muutenhan voitaisiin kysyä vain, että millä todennäköisyydellä kaksilapsisen perheen toinen lapsi on tyttö. Eli 50%. Onko tuo siis sama kysymys kuin alunperin esitetty??

Ihan siksi se siinä on, että se hämäisi ihmisiä. Siitähän näissä todennäköisyystehtävissä usein on kyse, että on osattava poimia annetusta informaatiosta ne seikat joilla on merkitystä tehtävän ratkaisussa ja jättää huomiotta ne joilla ei ole.

 

[varjo]

Meille kerrotaan, että toinen sisaruksista on tyttö. Jää toki jäljelle kolme kombinaatiota, mutta neljä mahdollista tyttöä. (tähän miinaan ajoimme)
Äskeisen kohdan voi siis tässä vaiheessa nakata romukoppaan.

Tarkemmin sanottuna vaikka Tp-pareja onkin lähtökohtaisesti kaksi kertaa enemmän kuin Tt-pareja, niin olemme jo tietämättämme blokanneet joko tp:n tai pt:n pois saatuamme lisäinformaatiota,
eikä sillä ole meille mitään väliä kumman, sillä ne ovat samanarvoisia.

Ja lopultakin, sillä kehittelemällämme järjestyksellä ei ole mitään väliä, koska toinen sekapareistakin kumoutuu riippumatta onko tietoomme saama tyttö vanhempi vai nuorempi.

Eipä se nyt noinkaan mene, alkuperäisessä tehtävänannossa ei välitetä siitä onko "toinen" lapsista tyttö ensin vaiko jälkeen. Jos mennään k-kombinaatioihin niin tällöin kylläkin mahdollisuuksia on 3:
TT
Tp (pT)
pp

Jos siis _ainakin toinen on poika_, se tarkoittaa että suotuisan tapauksen todennäköisyys on silti 1/3 sille, että molemmat sitten ovat poikia. Välittämättä niin siitä mitä ensin määritellään, niin todennäköisyys sille että toinenkin on samaa sukupuolta on 1/3 jos mennään kikkailemaan k-kombinaatioilla.

edit: eikun mitenkäs se alkuperäinen väite menikään, hitto ehtinyt jo unohtaa yön aikana.

 

[JimmyMac]

Jos meille kerrotaan, että toinen on tyttö, niin neljästä alkuperäisestä vaihtoehdosta putoavat pois parit PP ja joko PT tai TP. Sillä ei ole meille väliä kumpi, koska ne ovat saman arvoisia.

jää: TT 1/2 ja PT/TP 1/2

Jep. Mane on oikeassa. Otetaan joko TP tai PT pois, koska sama lapsi ei voi olla 2-lapsisessa perheessä isosisko ja pikkusisko. Tai sitten lisätään toinen TT, jolloin saadaan kaikki mahdolliset vaihtoehdot eli, että hänella voi olla joko isosisko, pikkusisko, isoveli tai pikkuveli.

 

[mjr]

Näin se menee arkiajattelun mukaan - Twitellä oli jossain valaiseva kommentti siitä, miten tehtävänasettelu pitäisi nähdä matemaattisena ongelmana, ja varjo sanoi saman puhuessaan otosavaruudesta. Ongelma on epätäsmällisen arkikielen käytössä formaalisti eksaktin matemaattisen tehtävän antoon. Minusta ei ole mitenkään yksiselitteistä yhdistää nämä kaksi kieltä toisiinsa vaan se tapahtuu spesifin kulttuurisen konvention kautta, mutta se on sitten eri debatin aihe. Itse laskuhan täysin yksiselitteinen jos nämä reunaehdot hyväksytään - niillä tiedoilla todennäköisyys on 1/3. Ainoa mistä voi legitiimisti jankata on alkuperäisen tehtävän sanamuodon merkitys.

Eli siis ehkä ei-tarpeellisena täydennyksenä tähän: kulttuurinen konventio voidaan legitiimisti haastaa eli siinä mielessä myös tuloskin. Ei ole mitään absoluuttista logiikkaa siinä, miten alkuperäistä lausetta tulkita. Lause itsessään ei ole yksiselitteinen.

 

[RB]

Ihan siksi se siinä on, että se hämäisi ihmisiä. Siitähän näissä todennäköisyystehtävissä usein on kyse, että on osattava poimia annetusta informaatiosta ne seikat joilla on merkitystä tehtävän ratkaisussa ja jättää huomiotta ne joilla ei ole.

Eli mielestäsi alkuperäinen kysymys tarkoittaakin kysymystä: "Ylipäätäänsä millä todennäköisyydellä umpimähkään valittu lapsi on tyttö?"

 

[maalilaulu soi]

Eipä se nyt noinkaan mene, alkuperäisessä tehtävänannossa ei välitetä siitä onko "toinen" lapsista tyttö ensin vaiko jälkeen. Jos mennään k-kombinaatioihin niin tällöin kylläkin mahdollisuuksia on 3:
TT
Tp (pT)
pp

Jos siis _ainakin toinen on poika_, se tarkoittaa että suotuisia tapauksia on yhä 2/3.

Mistähän vedit tuon pp -vaihtoehdon?

 

[oukka]

Jep. Mane on oikeassa. Otetaan joko TP tai PT pois, koska sama lapsi ei voi olla 2-lapsisessa perheessä isosisko ja pikkusisko. Tai sitten lisätään toinen TT, jolloin saadaan kaikki mahdolliset vaihtoehdot eli, että hänella voi olla joko isosisko, pikkusisko, isoveli tai pikkuveli.

Tämä Manen esittämä päättelyketju on sinänsä oikea, mutta tulee oikeaan ratkaisuun mutkan kautta. Nopeampi tapa on ymmärtää että lasten syntymät todella ovat toisistaan riippumattomia tapahtumia eikä toisen lapsista sukupuolella ole mitään merkitystä toisen sukupuolen määräytymiseen. Tällöin tehtävä yksinkertaistuu kutakuinkin muotoon "Millä todennäköisyydellä eräs Mäkisten lapsista on tyttö?", riippumatta lasten kokonaislukumäärästä ja muiden lapsien sukupuolista.

 

[V-man]

Jos poikaparia ei jätettäisi huomioimatta, esittämäsi mallin mukaan kaikki mahdolliset kaksilapsiset perheet jakautuisivat näin:
TT
TT
TP
PT
PP
PP

Tässä mallissa on kaksi kertaa todennäköisempää että toinen lapsi on samaa sukupuolta ensimmäisen kanssa, mikä ei pidä paikkaansa. Sitä TT-paria ei siis voi ottaa kahteen kertaan huomioon.

Ei "tässä mallissa" ole kaksi kertaa todennäköisempää että toinen lapsi olisi samaa sukupuolta toisen kanssa, vaan että se toteamus "toinen lapsista on tyttö" voi osua kahteen kertaan tuohon TT pariin ja samalla tavalla kahteen eri paikkaan nuissa sekapareissa.

Fiftyfifty!

 

[oukka]

Eli mielestäsi alkuperäinen kysymys tarkoittaakin kysymystä: "Ylipäätäänsä millä todennäköisyydellä umpimähkään valittu lapsi on tyttö?"

Juuri näin.

 

[varjo]

Mistähän vedit tuon pp -vaihtoehdon?

Siis se on puhtaasti tilanteen otosavaruus kaksilapsisessa perheessä, missä lasten järjestyksellä ei ole väliä.

 

[RB]

Juuri näin.

Selvä. Eipä tässä ole juuri järkeä sitten enää jatkaa, jos matemaattiset faktat ja tunnetut kaavat eivät sinulle riitä - tai siis edes päde.

 

[JimmyMac]

Eli mielestäsi alkuperäinen kysymys tarkoittaakin kysymystä: "Ylipäätäänsä millä todennäköisyydellä umpimähkään valittu lapsi on tyttö?"

Niinhän se käytännössä tarkoittaa, eli kompakysymys. Mietitään alkuperäistä lausetta nyt vielä kerran. Eli 2-lapsisessa perheessä on tyttölapsi ja oikeassa maailmassa hän voi olla kerralla joko nuorin tai vanhin - ei kumpaakaan yhtäaikaa. Eli, jos hän on nuorin, hänellä voi olla joko isoveli tai isosisko - jos hän on vanhin, hänellä voi olla joko pikkuveli tai pikkusisko. Kummassakin tapauksessa mahdollisuus on 50%.

Täällä ihmiset laskevat tuota todennäköisyyttä nyt sellaiseen kysymykseen, että "nainen on saamassa kaksi lasta, millä todennäköisyydellä sekä ensimmäinen että toinen lapsi ovat tyttöjä?" Tässähän ei kysytä sitä, vaan sitä, että "naisella on yksi tyttö, millä todennäköisyydellä seuraava lapsi on tyttö?"

 

[kantriantero]

Minä olen nimittäin sitä mieltä, että 3 x 0.33333.... ei ole sama, kuin 0.999999.... vaan puhtaasti 1.

Etkö muka huomaa tuossa ristiriitaa? :) 0,33.. on mielestäsi tarkka arvo 1/3:lle, mutta 0,99.. ei ole sitä 3/3:lle.

Jos tarkastellaan esim. lukuja 1 ja 0.99, niiden ero on 0.01.
Vaikka esitykseen lisättäisiin loputtomasti 9-desimaaleja (0.999...), niin ero lukujen 1 ja 0.999... välillä on aina olemassa. Eli kyseessä ei ole sama luku.

Mikä tämä ero näiden lukujen välillä sitten olisi? 0,99... = 0,9 + 0,099... = 0,99 + 0,0099..., jne. Silloin myös

0,99... + 0,1 = 0,9 + 0,1 + 0,099... = 1 + 0,099... > 1
0,99... + 0,01 = 0,99 + 0,01 + 0,0099... = 1 + 0,0099... > 1
0,99... + 0,001 = 0,999 + 0,001 + 0,00099... = 1 + 0,00099... > 1
jne.

Eli lisätään lukuun 0,99... kuinka pieni murto-osa tahansa, tuloksena on aina luku, joka on suurempi kuin 1. Tämähän tarkoittaa, että lukujen 0,99... ja 1 eron täytyy olla pienempi kuin mikään postitiivinen luku. Negatiivinenkaan se ei voi olla, joten sen täytyy olla 0, eli

0,99... = 1

Niin kuin tuossa Wikipedian artikkelissa todettiin, tämä tarkoittaa yleistettynä sitä, että mikä hyvänsä äärellisen mittaisen desimaaliosan omaava luku voidaan esittää vaihtoehtoisessa muodossa ("doppelgänger"), jossa desimaaliosan loppu on päättymätön sarja 9:ä, esim. 0,2499... = 0,25.

 

[Mane]

Jos heitätte poika-tyttö-lanttia kahdesti ja sen jälkeen 1, 2-lanttia kerran sen mukaan kumpi on se toinen, jonka sukupuolen ilmoitatte kuulijalle, niin jo on ihme jos suhteet eivät jäljelle jäävän toisen sukupuolen suhteen mene sitä lähemmäksi 50-50 mitä useammin toistatte prosessin.

 

[oukka]

Selvä. Eipä tässä ole juuri järkeä sitten enää jatkaa, jos matemaattiset faktat ja tunnetut kaavat eivät sinulle riitä - tai siis edes päde.

Sinun kaavasi ovat ihan totta, mutta vastaavat johonkin muuhun kysymykseen kuin tuohon mikä oli asetettu.

 

[K. Pahero]

Kysymys on julkaistu Tieteen Kuvalehden numerossa 5/2006 s.63. Vielänumerossa 9/2006 joku yrittää väittää täälläkin tuttua 1/2-todennäköisyyttä, mutta lehti väittää oikean vastauksen olevan 1/3.

Mäkiset saavat kaksi lasta. Tiedämme jostain syystä, että he saavat ainakin yhden tytön. He voivat saada ensin pojan ja sitten tytön, ensin tytön ja sitten pojan tai kaksi tyttöä. Mielestäni alkuperäisessä kysymyksessä kysytään tuota.

 

[oukka]

Kysymys on julkaistu Tieteen Kuvalehden numerossa 5/2006 s.63. Vielänumerossa 9/2006 joku yrittää väittää täälläkin tuttua 1/2-todennäköisyyttä, mutta lehti väittää oikean vastauksen olevan 1/3.

Mäkiset saavat kaksi lasta. Tiedämme jostain syystä, että he saavat ainakin yhden tytön. He voivat saada ensin pojan ja sitten tytön, ensin tytön ja sitten pojan tai kaksi tyttöä. Mielestäni alkuperäisessä kysymyksessä kysytään tuota.

Nyt tullaankin siihen, mikä tuon kysymyksen sanamuoto oikeasti on?

Onko se tuo miten sen tämän ketjun ensimmäisellä sivulla ilmoitit vaiko jokin muu?

"Mäkisillä on kaksi lasta, joista toinen on tyttö. Millä todennäköisyydellä myös toinen lapsi on tyttö?"

Tässä nimenomaan sanotaan että heillä ON kaksi lasta joista toinen ON tyttö. Ei ole mitään viittausta siihen että lapsia olisi vasta tulossa.

 

[JimmyMac]

Kysymys on julkaistu Tieteen Kuvalehden numerossa 5/2006 s.63. Vielänumerossa 9/2006 joku yrittää väittää täälläkin tuttua 1/2-todennäköisyyttä, mutta lehti väittää oikean vastauksen olevan 1/3.

Mäkiset saavat kaksi lasta. Tiedämme jostain syystä, että he saavat ainakin yhden tytön. He voivat saada ensin pojan ja sitten tytön, ensin tytön ja sitten pojan tai kaksi tyttöä. Mielestäni alkuperäisessä kysymyksessä kysytään tuota.

Tuossa kysytään sitten eri asiaa. Siinä kysytään, että: "Millä todennäköisyydellä saat kahdella tulevalla heitolla klaavan, mikäli kruuna-kruuna-tulos jätetään huomioimatta?"

Tässä ketjussa oleva kysymys kuuluu, että: "Olet heittänyt klaavan. Millä todennäköisyydellä heität seuraavallakin heitolla klaavan?

EDIT: Oukka kerkesikin jo vastaamaan.

 

[mjr]

Kysymys on julkaistu Tieteen Kuvalehden numerossa 5/2006 s.63. Vielänumerossa 9/2006 joku yrittää väittää täälläkin tuttua 1/2-todennäköisyyttä, mutta lehti väittää oikean vastauksen olevan 1/3.

Mäkiset saavat kaksi lasta. Tiedämme jostain syystä, että he saavat ainakin yhden tytön. He voivat saada ensin pojan ja sitten tytön, ensin tytön ja sitten pojan tai kaksi tyttöä. Mielestäni alkuperäisessä kysymyksessä kysytään tuota.

Kyllä tämä keskustelu tekee selväksi että ongelma on enemmän kielellinen kuin matemaattinen (siihen liittyvät laskelmathan ovat alkeellisia). Väittely on semanttista, mutta väitteet perustellaan laskutoimituksilla, mikä ei vie keskustelua eteenpäin, koska on valittu ne laskelmat jotka tukevat omaa päättelyä tehtävän sisällöstä. Siksi tulee vaikutelma siitä että puhutaan toisen ohi - koska puhutaankin, ja vielä perustellaan omaa kantaa kehäpäätelmällä.

 

[V-man]

Kysymys on julkaistu Tieteen Kuvalehden numerossa 5/2006 s.63. Vielänumerossa 9/2006 joku yrittää väittää täälläkin tuttua 1/2-todennäköisyyttä, mutta lehti väittää oikean vastauksen olevan 1/3.

Mäkiset saavat kaksi lasta. Tiedämme jostain syystä, että he saavat ainakin yhden tytön. He voivat saada ensin pojan ja sitten tytön, ensin tytön ja sitten pojan tai kaksi tyttöä. Mielestäni alkuperäisessä kysymyksessä kysytään tuota.

Ei voi olla totta ettei tuommoinen lehti tajua, että tyttöpari pitää laskea mukaan kahteen kertaan. Tämä siksi että siskospariin voidaan viitata kahteen kertaa sillä alun "toinen on tyttö" toteamuksella.