Vekkulien arvoitusten kysymys- ja väittelyketju

[JimmyMac]

Kyllä tämä keskustelu tekee selväksi että ongelma on enemmän kielellinen kuin matemaattinen (siihen liittyvät laskelmathan ovat alkeellisia). Väittely on semanttista, mutta väitteet perustellaan laskutoimituksilla, mikä ei vie keskustelua eteenpäin, koska on valittu ne laskelmat jotka tukevat omaa päättelyä tehtävän sisällöstä. Siksi tulee vaikutelma siitä että puhutaan toisen ohi - koska puhutaankin, ja vielä perustellaan omaa kantaa kehäpäätelmällä.

Senpä vuoksi tämä niin hauska ketju on ollutkin.

 

[Ramchester]

Kyllä tämä keskustelu tekee selväksi että ongelma on enemmän kielellinen kuin matemaattinen (siihen liittyvät laskelmathan ovat alkeellisia). Väittely on semanttista, mutta väitteet perustellaan laskutoimituksilla, mikä ei vie keskustelua eteenpäin, koska on valittu ne laskelmat jotka tukevat omaa päättelyä tehtävän sisällöstä. Siksi tulee vaikutelma siitä että puhutaan toisen ohi - koska puhutaankin, ja vielä perustellaan omaa kantaa kehäpäätelmällä.

Juuri näin. Eikä suomalaisten tyhmyyden osoittamiseen edes tarvita edellä nähtyjä kysymyksiä. Siihen riittää ihan normaalit prosenttilaskut, jotka tuntuvat olevan suurimalle osalle ihan ylivoimaisia.

 

[Dynamo]

Hauska ketju

Mäkisillä on kaksi lasta, joista toinen on tyttö. Millä todennäköisyydellä myös toinen lapsi on tyttö?

Kuten kaikille(?) on jo tainnut käydä selväksi on kysymys aivan perseestä. Olisikohan se ollut viisaampaa esittää esim:

Mäkisillä on kaksi lasta, joista ainakin jompikumpi on tyttö. Millä todennäköisyydellä molemmat lapset ovat tyttöjä?

Alkuperäiseen kysymykseen mun vastaus oli nolla! Ensimmäisessä lauseessa sanottiin, että toinen on tyttö; ei molemmat, ei jompikumpi vaan toinen. Toinen on silloin poika. (juba päätteli tehtävän samalla tavalla)

mjr selvensikin kiitettävästi miksi tätä ketjua on ollut todella hauskaa lukea

 

[ms.qvist]

Kyllä tämä keskustelu tekee selväksi että ongelma on enemmän kielellinen kuin matemaattinen (siihen liittyvät laskelmathan ovat alkeellisia). Väittely on semanttista, mutta väitteet perustellaan laskutoimituksilla, mikä ei vie keskustelua eteenpäin, koska on valittu ne laskelmat jotka tukevat omaa päättelyä tehtävän sisällöstä. Siksi tulee vaikutelma siitä että puhutaan toisen ohi - koska puhutaankin, ja vielä perustellaan omaa kantaa kehäpäätelmällä.

Mielenkiintoinen ketju kaikkiaan, jonkin sortin osoituksena ketjun herättämästä kiinnostuksesta kertoo vastaajien lukumäärä eli reilusti alle vuorokaudessa vastaajia on tullut jo päälle 280.

Olen seuraillut ketjua alusta lähtien ja kaikkiaan kiintoisaa seurata käytyä keskustelua niin matemaattisen tarkastelun kautta kuin myös (erityisesti) kielellisen tarkastelun kautta.

vlad.

 

[Dhearted]

Matemaattinen kaava ei erittele pikku- ja isosiskoa erilaisiksi (vertaa: kaksi kirjaa A ja B, niin silloin kirjat voidaan poimia AB AA BA BB). Periaatteessa tuossa kysymyksessä muuttujat ovat IS PS IV PV. Eli silloin IS PS on eri kuin PS IS. Mutta tosiaan ongelma on humaanin luonteensa vuoksi mielenkiintoinen.

 

[redlate]

Hetkinen, joo... kyllä. Hiljalleen alan tajuamaan tuon bijektion ja mahtavuuden välisen yhteyden. Sitä en tajua, miten nuo välit [1,2] ja [3,5] voitaisiin kuvata bijektioilla samaksi, mutta toisaalta, eipä sillä kai ole niin väliäkään.

Helposti saa suoran pisteiden (1,3) ja (2,5) välille. y=2x+1. Kuvaa 1->3 ja 2->5 ja nouseva suora on bijektio.

 

[Kumikaksonen]

Pääkivun sai aikanaan myös pohtimalla tällaista:

Olet huoneessa jossa on kaksi ovea. Toinen vie taivaaseen toinen helvettiin. Molempien ovien edessä on vartija. Toinen valehtelee aina toinen puhuu totta aina. Tottapuhuja ei ole välttämättä taivaan edessä ja toisin päin. He osaavat sanoa vain kylla tai ei. Saat kysyä yhden kysymyksen. Mitä kysyt kun haluat tietää, kumpi kummankin oven takana on?

 

[zamuel]

Pääkivun sai aikanaan myös pohtimalla tällaista:

Olet huoneessa jossa on kaksi ovea. Toinen vie taivaaseen toinen helvettiin. Molempien ovien edessä on vartija. Toinen valehtelee aina toinen puhuu totta aina. Tottapuhuja ei ole välttämättä taivaan edessä ja toisin päin. He osaavat sanoa vain kylla tai ei. Saat kysyä yhden kysymyksen. Mitä kysyt kun haluat tietää, kumpi kummankin oven takana on?

Kysyn oletko vartija?

edit: ja sitten arvaan oven... :)

 

[redlate]

Pääkivun sai aikanaan myös pohtimalla tällaista:

Olet huoneessa jossa on kaksi ovea. Toinen vie taivaaseen toinen helvettiin. Molempien ovien edessä on vartija. Toinen valehtelee aina toinen puhuu totta aina. Tottapuhuja ei ole välttämättä taivaan edessä ja toisin päin. He osaavat sanoa vain kylla tai ei. Saat kysyä yhden kysymyksen. Mitä kysyt kun haluat tietää, kumpi kummankin oven takana on?

Kumpaa ovea toinen vartija suosittelisi? Sitten mennään toisesta.

 

[Pasanen]

Kumpaa ovea toinen vartija suosittelisi? Sitten mennään toisesta.

Ja kun vastaus olisi kyllä niin ...?
Luultavasti tälläisen ketjun innoittamana on linkattu kuva tehty:
http://carcino.gen.nz/images/index.php/00b9a680/463c5922

 

[Sistis]

Helposti saa suoran pisteiden (1,3) ja (2,5) välille. y=2x+1. Kuvaa 1->3 ja 2->5 ja nouseva suora on bijektio.

Joo, ookoo. Mutta entäs miten tuo todistaa, että lukujen 1 ja 2 välillä on yhtä monta lukua, kuin lukujen 3 ja 5? Siis sillä tavalla, että jokaista x-akselin pistettä vastaa yksi ja vain yksi y-askelin piste?

Tämä siis tarkoittaa sitä, että lukuja 3:n ja 5:n välillä on puolet harvemmassa, kuin lukuja 1:n ja 2:n välillä. Jos samalla tapaa taas tutkittaisiin lukuja väleillä [1, 2] ja [3, 4], saataisiin taas sama tulos. Nyt luvut 3:n ja 4:n välillä ovatkin tuplasti tiheämmässä, kuin äsken 3:n ja 5:n välillä. Mielestäni tässä mennään jo aika lailla oudoille vesille.

 

[redlate]

Ja kun vastaus olisi kyllä niin ...?
]

Eikö mun kysymykseen tule selvä vastaus? joko ovi 1 tai ovi 2, sitten valitaan toinen. Kirjoitan perustelun myöhemmin.

 

[varjo]

Täällä ihmiset laskevat tuota todennäköisyyttä nyt sellaiseen kysymykseen, että "nainen on saamassa kaksi lasta, millä todennäköisyydellä sekä ensimmäinen että toinen lapsi ovat tyttöjä?" Tässähän ei kysytä sitä, vaan sitä, että "naisella on yksi tyttö, millä todennäköisyydellä seuraava lapsi on tyttö?"

Ei, kyllä mielestäni tässä yhä kysytään sitä, että on kaksi lasta, joista 1 on tyttö. Ei oteta kantaa järjestyksiin mitenkään. Koska sillä ei kysymyksenasettelun kannalta ole merkitystä onko tuo tyttö ensimmäinen vai toinen, niin otosavaruus on todellakin se kolme, TT, Tp, pp.

Asiaa voi ajatella myös laatikoitten avulla, on kaksi laatikkoa jotka ovat joko täysiä tai tyhjiä. Mahdollisia k-kombinaatioita on siis täysi, tyhjä; tyhjä, tyhjä ja täysi, täysi. Jos tiedetään, että toinen laatikoista on täysi, niin tällöin todennäköisyys sille, että toinenkin on täysi on 50%. Jos taas tätä ei tiedetä, todennäköisyys on 1/3, ehdollinen todennäköisyys on kiva asia.

Jos taas sitten asetetaan k-permutaatioita, siten että tyttö/poika eroaa poika/tytöstä, tällöin päästään taas 1/3-2/3 suhteisiin. Sitten jos vielä tarkemmin määritellään isoveli/pikkuveli suhteilla niin silloin mennään taas eri arvoihin.

Ongelma on paljolti tosiaan semanttinen ja erilaisia laskutapoja ja kysymyksenasetteluita on useita.

 

[redlate]

Joo, ookoo. Mutta entäs miten tuo todistaa, että lukujen 1 ja 2 välillä on yhtä monta lukua, kuin lukujen 3 ja 5? Siis sillä tavalla, että jokaista x-akselin pistettä vastaa yksi ja vain yksi y-askelin piste?

Yksikäsitteinen vastaavuus lukujen välillä. Samoin kuin luonnolliset luvut.

Tämä siis tarkoittaa sitä, että lukuja 3:n ja 5:n välillä on puolet harvemmassa, kuin lukuja 1:n ja 2:n välillä. Jos samalla tapaa taas tutkittaisiin lukuja väleillä [1, 2] ja [3, 4], saataisiin taas sama tulos. Nyt luvut 3:n ja 4:n välillä ovatkin tuplasti tiheämmässä, kuin äsken 3:n ja 5:n välillä. Mielestäni tässä mennään jo aika lailla oudoille vesille.

niimpä. Kantorin tutkielmat äärettömyyksistä selventävät jonkin verran asiaan.

 

[Sistis]

niimpä. Kantorin tutkielmat äärettömyyksistä selventävät jonkin verran asiaan.

Eli siis, olenko nyt ymmärtänyt tämän Kantorin teorian oikein? Lukujen 2 ja 3 välillä on yhtä monta lukua, kuin lukujen 2 ja 4 välillä. Ensimmäisessä tapauksessa luvut sijaitsevat vain kaksi kertaa tiheämmällä välillä.

 

[JimmyMac]

Ongelma on paljolti tosiaan semanttinen ja erilaisia laskutapoja ja kysymyksenasetteluita on useita.

Aivan totta. Mietitään, että on olemassa perhe, jossa on (tai tulee olemaan) kaksi lasta, mutta ei kahta poikaa. Siitä saadaan jo seuraavat kysymykset:

- Perheessä ei ole vielä yhtään lasta. Mikä on todennäköisyys sille, että molemmat syntyvät lapset ovat tyttöjä? Vastaus: 1/3 (~33%)

- Perheessä on yksi tyttö. Mikä on todennäköisyys sille, että seuraavana syntyvä lapsi on tyttö? Vastaus: 1/2 (50%)

- Perheeseen on syntynyt kaksi tyttöä. Mikä on todennäköisyys, että näin pääsi käymään? Vastaus: 1/3 (~33%)

Eli semantiikan vuoksi tässä nyt on väännetty edes takaisin tämän yksinkertaisen laskutoimituksen ympärillä. Ja eiköhän sen kaikki täällä jo ymmärrä. Nyt tarvitsisi vain tietää tarkalleen se alkuperäinen kysymys ja se mitä kysyjä sillä tarkoitti...

 

[redlate]

Eli siis, olenko nyt ymmärtänyt tämän Kantorin teorian oikein? Lukujen 2 ja 3 välillä on yhtä monta lukua, kuin lukujen 2 ja 4 välillä. Ensimmäisessä tapauksessa luvut sijaitsevat vain kaksi kertaa tiheämmällä välillä.

Näin minä olen asian ymmärtänyt. Jos vielä hämmenetään niin kahden peräkkäisen rationaaliluvun välissä on ääretön määrä irrationaalilukuja ja päinvastoin. Äärettömyydet ei oikein taivu ns. arkijärjen mukaan.
Matematiikan laitokselta olen valmistunut, joten en ihan hatusta näitä vedä.

 

[Rod Weary]

Kai olette ottaneet huomioon, että on vain 90% varmaa, että arvauksen kohteena oleva lapsi on herra Mäkisen oma. Luin muistaakseni viime viikolla tutkimuksesta, että nykyisin n. 10% mukuloista syntyy syrjähypyn seurauksena.

Muuten olen sitä mieltä, että sillä ei ole väliä, kumpaa sukupuolta se tiedossa oleva kersa on. Se on joka tapauksessa suunnilleen 50-50, että se toinen Keijo-Annikki on tyttö. Riippuen siitä, pitääkö ottaa huomioon sukupuolijakauma suomalaislapsien yleisen syntyvyyden osalta vai ei. Jos siis kysymys on esitetty yhtä leväperäisesti kuin n. 300 viestiä sitten oli.

 

[Dhearted]

Nyt tarvitsisi vain tietää tarkalleen se alkuperäinen kysymys ja se mitä kysyjä sillä tarkoitti...

Ja ehkä vielä miksi helvetissä se meni sen kysymään! Isot kustannukset yhteiskunnalle työaikana Jatkoaikaan kirjoittelusta.

 

[Rodion]

Ja ehkä vielä miksi helvetissä se meni sen kysymään! Isot kustannukset yhteiskunnalle työaikana Jatkoaikaan kirjoittelusta.

Kai yritettiin osoittaa jatkoaikalaisten olevan keskimääräistä tyhmempiä ja kun ketjua lukee, niin MOT.

 

[Sistis]

Näin minä olen asian ymmärtänyt. Jos vielä hämmenetään niin kahden peräkkäisen rationaaliluvun välissä on ääretön määrä irrationaalilukuja ja päinvastoin. Äärettömyydet ei oikein taivu ns. arkijärjen mukaan.

No huh huh, nyt tulikin sitten tosiaan melkoinen paradoksi eteen.

Matematiikan laitokselta olen valmistunut, joten en ihan hatusta näitä vedä.

Näin ajattelinkin, sen verran vakuuttavasti perustelit asian. Itse asiassa perustelit jopa paljon paremmin, kuin minua aikanaan opettanut professori... Kiitos sinulle, nyt tajusin tuon minua jo vuosikaudet hämmästyttäneen matemaattisen dilemman. En siltikään oikein ymmärrä tätä asiaa, mutta tajusin kuitenkin teoreettisen pohjan siinä. Saakoon sieluni nyt rauhan. :)

 

[Vintsukka]

Jos poikaparia ei jätettäisi huomioimatta, esittämäsi mallin mukaan kaikki mahdolliset kaksilapsiset perheet jakautuisivat näin:
TT
TT
TP
PT
PP
PP

Tässä mallissa on kaksi kertaa todennäköisempää että toinen lapsi on samaa sukupuolta ensimmäisen kanssa, mikä ei pidä paikkaansa. Sitä TT-paria ei siis voi ottaa kahteen kertaan huomioon.

Ei "tässä mallissa" ole kaksi kertaa todennäköisempää että toinen lapsi olisi samaa sukupuolta toisen kanssa, vaan että se toteamus "toinen lapsista on tyttö" voi osua kahteen kertaan tuohon TT pariin ja samalla tavalla kahteen eri paikkaan nuissa sekapareissa.

Fiftyfifty!

Se mitä kommentoin oli JimmyMacin esitys että mahdolliset tapaukset ovat:
TT
TT
TP
PT

Tuossa ihan selvästi esitetään että kahden tytön saaminen on yhtä todennäköistä kuin tytön ja pojan (järjestyksellä ei ole väliä). Jos oletetaan tyttöjä ja poikia syntyvän yhtä paljon (kuten tässä nyt on koko ajan oletettu), syntyy poikapareja siis yhtä paljon kuin tyttöpareja. Tämä johtaa siihen että näin laskien todennäköisyys että lapset ovat samaa sukupuolta keskenään on 2/3.

 

[lintu]

Olisi tietenkin täysin mielipuolista jättää huomioimatta se mahdollisuus, että tyttö voikin olla poika, eli transu. Nyt vaihtoehtoja onkin enemmän:

transu-transu
transu-tyttö
transu-poika
tyttö-tyttö
tyttö-transu
tyttö-poika
poika-transu
poika-tyttö
poika-poika

poika-poika -vaihtoehdon voimme heti sulkea pois, sillä siinähän ei pimppiä löydy. Sitten tulee tietenkin huomioida, että transujen kohdalla 50% on tyttöjä (tarkempaa tilastoa ei löydy ja menee varmasti metsään sillä miespuolisia on varmasti enemmän, mutta ehkä Mane korjaa myöhemmin). Eli mahdollisia kombinaatioita sille, että molemmat lapset ovat tyttöjä ovat:
transu-transu, mikäli tämä osuu kohdalle on todennäköisyys 0,5^2 että molemmat ovat tyttöjä
transu-tyttö, mikäli tämä osuu kohdalle on todennäköisyys 0,5*1 että molemmat ovat tyttöjä
tyttö-tyttö, mikäli tämä osuu kohdalle on todennäköisyys 1*0,99(ei sitä silti voi olla ihan varma niin laitetaan nyt pieni mahdollisuus sille että toinen ei olekaan tyttö) että molemmat ovat tyttöjä
tyttö-transu, mikäli tämä osuu kohdalle on todennäköisyys 1*0,70(mikäli isosisko on tyttö, uskoisin todennäköisyyden nousevan sille että sisko haluaa "vaihtaa" sukupuoltaan. Mäkisillä on usein helvetin rumia tyttöjä).

Ja heitin kolikkoa kolmesti, sillä suljin pois mahdollisuudet poika-transu ja poika-poika koska tuli kaksi klaavaa.

On tietenkin muistettava tällaisia laskelmia tehdessä transujen täysin samanarvoinen asema yhteiskunnassamme, ketään ei saa syrjiä. Homoja en laske tytöiksi.

 

[Taze]

Tuossa ihan selvästi esitetään että kahden tytön saaminen on yhtä todennäköistä kuin tytön ja pojan (järjestyksellä ei ole väliä).

Itse asiassa tuossa on eliminoitu mahdollisuus PP kokonaan, koska se ei tehtävän annon mukaan ole mahdollinen. Joten nuo JimmyMacin esittämät ovat ainoat mahdolliset tässä tapauksessa.

 

[hihhu]

En siltikään oikein ymmärrä tätä asiaa, mutta tajusin kuitenkin teoreettisen pohjan siinä. Saakoon sieluni nyt rauhan. :)

Tuon kysymyksen juju on siinä, että se on ihan päätön, mutta sitä ei helposti huomaa. Rationaaliluvulla ei ole "leveyttä", joten se ei täytä mitään väliä. Tästä johtuen kaikki välit ovat yhtä suuria, jos suuruus määritellään sen mukaan, kuinka monta rationaalilukua niihin mahtuu.

Sitä voisi verrata siihen, että yritetään verrata kahden huoneen kokoa sillä perusteella, että kumpaan mahtuu useamman kerran ajatus punaisesta pallosta. Koska ajatus ei täytä huonetta, ei huoneita saa tämän perusteella suuruusjärjestykseen.

Vika ei siis ole siinä, että välien koot ovat jotenkin outoja. Vika on siinä, että mittaat kokoa väärällä välineellä. Jos haluaa mitata kokoa, ei kannata käyttää mittaa, jonka koko on 0.