Matematiikkapähkinät

[Kirjoittelija]

Et ottanut lainkaan huomioon 1 euron hintaa ja sen häviämisen todennäköisyyttä.

Karotenoidilla 0,83 miinus yksi oli -0,17.
Minulla 235 miinus yksi oli 234. Mitä mä tein eri lailla kuin karotenoidi, joka laski oikein?

 

[TomiP]

Karotenoidilla 0,83 miinus yksi oli -0,17.
Minulla 235 miinus yksi oli 234. Mitä mä tein eri lailla kuin karotenoidi, joka laski oikein?

Ok. Annan pisteen sinulle.

Pistetilanne:

redlate: 4
huhheijaa: 1
kartenoidi: 1
Kirjoittelija: 1

 

[Kirjoittelija]

Minua jäi lukion matikassa (joka meni suurilta osin yli hilseen) ihmetyttämään yksi asia. Ensimmäisellä kurssilla oli kirjassa kysymys, että mikä on pienin kolminumeroinen kolmella jaollinen kokonaisluku. Oikea vastaus oli 102, mutta mä en ole vieläkään ymmärtänyt, miksei mun vastaukseni -999 kelvannut.

 

[TomiP]

Minua jäi lukion matikassa (joka meni suurilta osin yli hilseen) ihmetyttämään yksi asia. Ensimmäisellä kurssilla oli kirjassa kysymys, että mikä on pienin kolminumeroinen kolmella jaollinen kokonaisluku. Oikea vastaus oli 102, mutta mä en ole vieläkään ymmärtänyt, miksei mun vastaukseni -999 kelvannut.

Siksi, että tehtävä oli virheellinen. Vastauksesi oli oikea.

 

[redlate]

Siksi, että tehtävä oli virheellinen. Vastauksesi oli oikea.

Niin no, miten sen ottaa. Yleensä lukuteoria liitetään luonnollisten lukujen joukkoon N = (1,2,3,...)

 

[TomiP]

Niin no, miten sen ottaa. Yleensä lukuteoria liitetään luonnollisten lukujen joukkoon N = (1,2,3,...)

@Kirjoittelija puhui kokonaisluvuista ei luonnollisista luvuista.

 

[Kirjoittelija]

Niin no, miten sen ottaa. Yleensä lukuteoria liitetään luonnollisten lukujen joukkoon N = (1,2,3,...)

Tää mua siinä kysymyksessä nimenomaan ihmetytti. Miksi kysyttiin pienintä kokonaislukua, eikä pienintä luonnollista lukua, jos vastaukseksi haluttiin 102.

 

[redlate]

@Kirjoittelija puhui kokonaisluvuista ei luonnollisista luvuista.

Katsoppas vain. Pitäisiköhän ensin lukea ja sitten vasta kirjoittaa... No näin toimin yleensäkin. Luen tehtävän pari ekaa sanaa, lasken sitten jotain ja ihmettelen miksi en saa oikein.

 

[TomiP]

Taas jäi tehtävä avoimeksi.

Tässä uusi pähkinä: Todista, että jatkuva kuvaus kuvaa kompaktit joukot kompakteiksi.

Tämä on tärkeä lause.

 

[redlate]

Taas jäi tehtävä avoimeksi.

Tässä uusi pähkinä: Todista, että jatkuva kuvaus kuvaa kompaktit joukot kompakteiksi.

Tämä on tärkeä lause.

Oliko nyt niin, että joukko on kompakti, jos sillä on avoimet osapeitteet? Hahmottelin mielessäni, että koska kuvaus, olkoon f, on jatkuva, niin jokainen pisteen z p-säteinen ympäristö on kuvapisteen a k-säteisessä ympäristössä. Voinko nyt valita vaikka pisteiden f(z) 2k-säteiset ympäristöt osapeitteiksi. Tämä vain ensimäisenä ajatulsena. Kannattaako jalostaa eteenpäin?

 

[TomiP]

Oliko nyt niin, että joukko on kompakti, jos sillä on avoimet osapeitteet? Hahmottelin mielessäni, että koska kuvaus, olkoon f, on jatkuva, niin jokainen pisteen z p-säteinen ympäristö on kuvapisteen a k-säteisessä ympäristössä. Voinko nyt valita vaikka pisteiden f(z) 2k-säteiset ympäristöt osapeitteiksi. Tämä vain ensimäisenä ajatulsena. Kannattaako jalostaa eteenpäin?

Kompakti on joukko, jonka jokaisesta avoimella peitteellä on äärellinen osapeite. Eli jokaisesta avoimesta peitejoukosta löytyy äärellinen osapeite, joka peittää joukon.

Lause on yleinen. Se toimii myös ei-metrisissä avaruuksissa. Eli ei tarvita palloja.

Vihje: Ota kuvajoukon avoin peite. Ota tästä alkukuva, joka on alkuperäisen kompaktin joukon avoin peite (miksi?). Kuvaa äärellinen osa peite takaisin.

 

[Hippi Hiiri]

Vihje: Ota kuvajoukon avoin peite. Ota tästä alkukuva, joka on alkuperäisen kompaktin joukon avoin peite (miksi?). Kuvaa äärellinen osa peite takaisin.

En tiedä vastausta kysymykseesi, mutta näillä ohjeilla sain sängyn pedattua siistimmin kuin koskaan.

 

[Unkka]

Tietääköhän nämä hemmot paljonko on 1-1?

 

[TomiP]

Tietääköhän nämä hemmot paljonko on 1-1?

Tiedetään.

Ja olen aieminkin sanonut, että tässä ketjussa paskan puhuminen loppuu. Seuraavasta raportoin moderaattoreille.

 

[Unkka]

Tiedetään.

Ja olen aieminkin sanonut, että tässä ketjussa paskan puhuminen loppuu. Seuraavasta raportoin moderaattoreille.

Hei, ei pidä olla noin tosikko. Ja vastaus on 2. Perustelutkin löytyy.

 

[Turha Kaukalo]

Mä en oo koskaan saanut edes huomautusta.

 

[FASlapsi]

Taas jäi tehtävä avoimeksi.

Tässä uusi pähkinä: Todista, että jatkuva kuvaus kuvaa kompaktit joukot kompakteiksi.

Tämä on tärkeä lause.

Tässä on todistajani, Seppo Kekkonen. Seppo, kerro asiasi.

- Tulin vain toteamaan, että jos minä vaikkapa kuvaan Jyrki-ohjelmasta naftaliiniin laitetulla, olalta kannettavalla videokameralla jatkuvasti hyvin pienessä tilassa kontrolloidusti liikkuvia Suomen armeijan sotilaita, ne näyttävät aina hyvin kompakteilta.

Kiitos Seppo. Olet nyt mielestäni aukottomasti todistanut, että jatkuva kuvaus kuvaa kompaktit joukot kompakteiksi.

 

[Unkka]

Tässä on todistajani, Seppo Kekkonen. Seppo, kerro asiasi.

- Tulin vain toteamaan, että jos minä vaikkapa kuvaan Jyrki-ohjelmasta naftaliiniin laitetulla, olalta kannettavalla videokameralla jatkuvasti hyvin pienessä tilassa kontrolloidusti liikkuvia Suomen armeijan sotilaita, ne näyttävät aina hyvin kompakteilta.

Kiitos Seppo. Olet nyt mielestäni aukottomasti todistanut, että jatkuva kuvaus kuvaa kompaktit joukot kompakteiksi.

Voihan vitsi. Jätkä todisti todistettavasti lauseen todeksi. Ei siinä edes jehovan todistajia tarvittu!

 

[TomiP]

Tässä on todistajani, Seppo Kekkonen. Seppo, kerro asiasi.

- Tulin vain toteamaan, että jos minä vaikkapa kuvaan Jyrki-ohjelmasta naftaliiniin laitetulla, olalta kannettavalla videokameralla jatkuvasti hyvin pienessä tilassa kontrolloidusti liikkuvia Suomen armeijan sotilaita, ne näyttävät aina hyvin kompakteilta.

Kiitos Seppo. Olet nyt mielestäni aukottomasti todistanut, että jatkuva kuvaus kuvaa kompaktit joukot kompakteiksi.

Män päin vittua.

 

[TomiP]

Edelleen kaikki ratkaisemattomat pähkinät ovat auki. Niitä voi ratkoa.

Uusi pähkinä:
Osoita, että jos kuvaus f:R--> R on jatkuva injektio, niin se on avoin kuvaus (eli kuvaa avoimet joukot avoimeksi).

 

[TomiP]

Aihetta sivuten. Suomi menestyi matematiikkaolympialaisissa (alle 20-vuotiaita) todella surkeasti (oli 82.). Euroopan maista vain Albania oli huonompi. Jotain vikaa on matematiikan opetuksessamme.

 

[redlate]

Aihetta sivuten. Suomi menestyi matematiikkaolympialaisissa (alle 20-vuotiaita) todella surkeasti (oli 82.). Euroopan maista vain Albania oli huonompi. Jotain vikaa on matematiikan opetuksessamme.

Joo. Ne viat ovat interwjeb ja symbolinen laskin. Kokemuksesta tiedän.

 

[TomiP]

Taas jäi avoimeksi.

Uusi pähkinä:
Muotoile ja todista lokaali Cauchyn lause ja Cauchyn integraalikaava.

Vihje: Kyse on kompleksianalyysistä.

 

[TomiP]

Lisävihje: Lokaalit muodot Cauchyn lauseesta ja integraalikaavasta (liittyvät läheisesti toisiinsa) pätevät konvekseissa alueissa. Joukko on konveksi, jos mikä tahansa sen pistepari voidaan yhdistää janalla siten, että jana kuuluu kokonaisuutena joukkoon. Alue on avoin ja yhtenäinen joukko. Konveksit joukot ovat aina yhtenäisiä, joten siitä ei kannata huolia. Avoimuutta ei tarvita muuhun kuin takaamaan derivaatan olon joka pisteessä (derivaattaa ei voida määrittää joukon reunapisteissä, avoimissa joukoissa reunapisteet eivät kuuluu joukkoon). Konveksius on tässä tärkein ominaisuus.

Todistamiseen tarvitaan tärkeä apulause, jonka annan.

Apulause: Analyyttisen (derivoituvan) funktion integraali (viivaintegraali) yli kolmion on nolla (myös yli nelikulmion tai minkä tahansa monikulmion). Apulause ei vaikea todistaa, mutta todistusta ei tarvitse esittää.

Lisätään vielä apulause pätee funktioille, jotka ovat jatkuvia ja derivoituvia (ko. alueessa) kaikissa paitsi yhdessä pisteessä (tässä pisteessä funktion on oltava jatkuva). Tällaiset funktiot ovat itseasiassa derivoituvia myös tässä epäanalyyttisyyspisteessä (on poistuva erikoispiste).

 

[TomiP]

Huomauttaisin, että googlen käyttö on tässä sallittua. Sieltä ei välttämättä löydy todistuksia, mutta määritelmät ja käsitteet löytyvät.