Matematiikkapähkinät

  • 32 557
  • 273

redlate

Jäsen
Suosikkijoukkue
HIFK, Ketterä
1/p(z):lla ei ole välttämättä suurinta tai pienintä arvoa. Kompleksitaso ei ole kompakti. Hain sitä, että |p(z)| menevät äärettömyyteen kun |z| menee äärettömyyteen (helppo osoittaa). Tästä seuraa, että 1/|p(z)| menee 0, kun |z| menee äärettömyyteen. Joten on olemassa R>0 s.e. 1/|p(z)|<1, kun |z|>R näin funktio 1/|p(z)| on rajoitettu, tästä seuraa, että 1/p(z) olisi vakio Liuovillen lauseen perusteella (eli p(z) olisi vakio myös). Tämä on ristiriita.

Hyväksyn kuitenkin vastauksesi.
No joo. Yhtäkaikki 1/p(z) saadaan rajoitetuksi myös tässä tilanteessa.
 

redlate

Jäsen
Suosikkijoukkue
HIFK, Ketterä
Seuraava pähkinä:

Ratkaise DY y''(x)+ay'(x)+by(x)=c*sin(d*x). a,b, c ja d ovat reaalivakioita d/=0
Kuinka tarkan ratkaisun haluat? Riittääkö tämä kun tabletilla kirjoittelen, niin matemaattinen notaatio on hieman työlästä.
y(x)=C1e^r1x+C2e^r2x+Tsin(dx)+Kcos(dx), missä r1 ja r2 ovat karakteristisen yhtälön r^2+ar+c=0 ratkaisut. Mikäli kaksoisjuuria, niin sitten Ce^rx+Cxe^rx tai kompleksijuurten tapauksessa sitten Eulerin nojalla eteenpäin. K ja T saadaan yhtälöryhmästä yritefunktion avulla. En jaksanut käsin vääntää. Laskin antoi
T=-((b(3333c-d)+d^3)/(11108889bd) ja K=d/3333b ja lisäksi erikoistapauksia mikäli jokin vakioista on nolla.
 

TomiP

Jäsen
Suosikkijoukkue
Jyp, Suomi
Kuinka tarkan ratkaisun haluat? Riittääkö tämä kun tabletilla kirjoittelen, niin matemaattinen notaatio on hieman työlästä.
y(x)=C1e^r1x+C2e^r2x+Tsin(dx)+Kcos(dx), missä r1 ja r2 ovat karakteristisen yhtälön r^2+ar+c=0 ratkaisut. Mikäli kaksoisjuuria, niin sitten Ce^rx+Cxe^rx tai kompleksijuurten tapauksessa sitten Eulerin nojalla eteenpäin. K ja T saadaan yhtälöryhmästä yritefunktion avulla. En jaksanut käsin vääntää. Laskin antoi
T=-((b(3333c-d)+d^3)/(11108889bd) ja K=d/3333b ja lisäksi erikoistapauksia mikäli jokin vakioista on nolla.

Haluan kaikki vastaukset. Eli karakteristisen yhtälönratkaisut ja erikoisratkaisu. Nuo erikoisratkaisun vakiot ovat käsinratkottuna luultavasti helpommassa muodossa (en ole vielä itse ratkaissut sitä). Eli erikoisratkaisun olisi oltava siistimpi.

Myös r1 ja r2 olisi hyvä kirjoittaa auki.
 

redlate

Jäsen
Suosikkijoukkue
HIFK, Ketterä
Haluan kaikki vastaukset. Eli karakteristisen yhtälönratkaisut ja erikoisratkaisu. Nuo erikoisratkaisun vakiot ovat käsinratkottuna luultavasti helpommassa muodossa (en ole vielä itse ratkaissut sitä). Eli erikoisratkaisun olisi oltava siistimpi.
Näyttivätkin vähän häijyiltä. Jos aikaa myöhemmin riittää, niin palaan asiaan.
 

redlate

Jäsen
Suosikkijoukkue
HIFK, Ketterä
Uusi yritys. r1=(-a+(a^2-4b)^(1/2))/2 ja r2=(-a-(a^2-4b)^(1/2))/2 Jolloin siis C1e^r1x+C2e^r2x=H(y) ja E(x)=Asin(dx)+Bcos(dx), missä
A=(c(b^2-d^2)/((b^2-d^2)-(ad)^2) ja B=acd/((b^2-d^2)-(ad)^2) ja lopullinen ratkaisu H(x)+E(x)
 

TomiP

Jäsen
Suosikkijoukkue
Jyp, Suomi
Uusi pähkinä:

Todista, että R^N -avaruuksissa joukko on kompakti, jos ja vain jos se on suljettu ja rajoitettu.
 

TomiP

Jäsen
Suosikkijoukkue
Jyp, Suomi
Huomautus tähän pähkinään. Metrisissä avaruuksissa kompakti joukko on aina suljettu ja rajoitettu, mutta yleensä käänteinen ei päde (R^N-avaruuksissa se pätee, niiden geometrisesta rakenteesta johtuen). Topologisissa avaruuksissa kompaktit joukot ovat aina suljettuja, jos avaruus on ns. Hausdorff-avaruus (metriset avaruudet ovat kaikki Hausdorff-avaruuksia). Yleisessä topologisessa avaruudessa kompaktit joukot voivat olla ei-suljettuja.
 

TomiP

Jäsen
Suosikkijoukkue
Jyp, Suomi
Ilmeisesti tähän pähkinään ei tule ratkaisua.

Jätän tehtävän kuitenkin auki, jos joku haluaa esittää ratkaisun saa pisteet.

Uusi pähkinä:

Jatketaan kompakteilla joukoilla:
Osoita, että Hausdorff-avaruuksissa kompakti joukko on suljettu eli avoimen eli topologiaan kuuluvan joukon komplementti.

Avuksi määrittelen Hausdorff-avaruuden. Hausdorff-avaruuksissa jokaisella pisteparilla on pistevieraat avoimet ympäristöt.
Eli jos A on Hausdorff-avaruus ja x, y (x ei y) ovat kaksi (eri) pistettä avaruudessa on olemassa avoimet joukot V ja U siten, että
x kuuluu V:hen ja y U:hun, V ja U ovat pistevieraita eli niiden leikkaus on tyhjä joukko (ei sisällä yhtään pistettä).
 
Viimeksi muokattu:

TomiP

Jäsen
Suosikkijoukkue
Jyp, Suomi
Lisä huomautus. Tässä oletetaan, että ko. Hausdorff-avaruudella EI ole metriikkaa. Metriset avaruudet ovat Hausdorff-avaruuksia, mutta vain erikoistapauksia yleisestä Hausdorff-avaruudesta.
 

TomiP

Jäsen
Suosikkijoukkue
Jyp, Suomi
Vihje:
Jos K on kompakti, niin ota x_0 K:n komplementista, konstruoi K:lle sopiva avoin peite käyttäen pisteparien avointen ympäristöjen pistevierautta hyväksesi. Näin saat x_0 avoimen ympäristön, joka on pistevieras K:n kanssa. Toista operaatio, kaikille K:n komplementin pisteille (tätä ei oikeasti tarvitse tehdä, sillä x_0 ei ole mitenkään erikoinen piste ja sama päättely pätee kaikille K:n komplementin pisteille)..
 

vilpertti

Jäsen
Suosikkijoukkue
San Jose Chokes
Erinomainen video juuri tähän =)

Itselle tuli lähinnä sääli tätä meidän Tomia (hei... haittaako jos kutsun Tompaksi? No ei sen väliä, kutsun silti) kohtaan. Kaveri oikeasti näyttää pitävän tätä keskustelupalstaa niin tärkeänä paikkana, että egon pönkittäminen ja joku tiedon esittely täällä on tärkeää. Että ikään kuin tämä olisi joku tikapuu missä nokittelemalla voi nousta suurimpaan arvoon. Ja kun itse määrittelee ylhäältä käsin arvonmuodostuksen (tämä ketju), on myöskin itse kisan auktoriteetti, palstan pääministeri. Jotta homma olisi täydellistä, samassa viitekehyksessä tehdään yleisölle ketju jossa he voivat kysyä juuri Tompan asiantuntemukseen liittyviä asioita. Näin Tomppa on määritellyt, että no matematiikka se on se millä kuvitteellisilla mutta Tompalle ikävä kyllä ilmeisen todellisilla tikkailla noustaan. Tämän jälkeen, jos muissa asiayhteyksissä Tomppaa faktoilla ja perusteluilla kiusanneet kanssakeskustelijat eivät olekaan samalle alalle erikoistuneita osaajia, he ovat ainakin tyhmiä ja todennäköisesti myös heidän näkemyksensä muissa asioissa voidaan kyseenalaistaa.

Ja on se matematiikka juu todella tärkeää. Tosi hienoa Tomppa, että osaat sitä, äitikin on varmasti ylpeä kun on niin fiksun pojan tehnyt. HYVÄ!
 

TomiP

Jäsen
Suosikkijoukkue
Jyp, Suomi
Erinomainen video juuri tähän =)

Itselle tuli lähinnä sääli tätä meidän Tomia (hei... haittaako jos kutsun Tompaksi? No ei sen väliä, kutsun silti) kohtaan. Kaveri oikeasti näyttää pitävän tätä keskustelupalstaa niin tärkeänä paikkana, että egon pönkittäminen ja joku tiedon esittely täällä on tärkeää. Että ikään kuin tämä olisi joku tikapuu missä nokittelemalla voi nousta suurimpaan arvoon. Ja kun itse määrittelee ylhäältä käsin arvonmuodostuksen (tämä ketju), on myöskin itse kisan auktoriteetti, palstan pääministeri. Jotta homma olisi täydellistä, samassa viitekehyksessä tehdään yleisölle ketju jossa he voivat kysyä juuri Tompan asiantuntemukseen liittyviä asioita. Näin Tomppa on määritellyt, että no matematiikka se on se millä kuvitteellisilla mutta Tompalle ikävä kyllä ilmeisen todellisilla tikkailla noustaan. Tämän jälkeen, jos muissa asiayhteyksissä Tomppaa faktoilla ja perusteluilla kiusanneet kanssakeskustelijat eivät olekaan samalle alalle erikoistuneita osaajia, he ovat ainakin tyhmiä ja todennäköisesti myös heidän näkemyksensä muissa asioissa voidaan kyseenalaistaa.

Ja on se matematiikka juu todella tärkeää. Tosi hienoa Tomppa, että osaat sitä, äitikin on varmasti ylpeä kun on niin fiksun pojan tehnyt. HYVÄ!

Se toisen ketjun avasin, jotta tähän ketjuun ei tulla esittämään omia tehtäviä, kuten heti alussa kävi.
Muutama palstan persuoikeistolainen piikitteli minulle matematiikasta aiemmin, joten piikitin heitä takaisin.

Huomauttaisin vielä, että matematiikka ei ole alani.


Ja nyt loppuu muusta kuin matematiikasta paskan jauhaminen tässä ketjussa.
 
Kirjaudu sisään, jos haluat vastata ketjuun. Jos sinulla ei ole vielä käyttäjätunnusta, rekisteröidy nyt! Kirjaudu / Rekisteröidy
Ylös