Matematiikkapähkinät

[TomiP]

Pistetilanne:

redlate: 4
huhheijaa: 1

 

[redlate]

Kelpaavat. Pythagoraan lauseella on lukemattomia todistuksia.

Joo. Meinasin ensin lähteä kosinilauseen kautta, mutta tajusin, että sen pyörittämisen teen yleensä pythagoraan kautta. Kaipa se vektoreillakin tulisi aika suorana seurauksena laskemalla vektorin a-b pituutta pistetulolla ja sitten cos(90)=0

 

[TomiP]

Seuraavaksi vähän vaativampi:

olkoot f_n(x) R^N:n positiiviarvoinen monotonisesti nouseva mitallinen funktiojono, joka suppenee (pisteittäin) f(x):ään.

Todista lim n-> ääretön int_R^N f_n(x)=int_R^N f(x).

Tämä lause tunnetaan monotonisen konvergenssin lauseena.

 

[TomiP]

No jätetään tämäkin auki.

Laske loton odotusarvo yhdelle riville ilman lisänumeroita, kun päävoitto 10 miljoonaa euroa (voit olettaa, että voittoja ei jaeta useamman kesken).

Pelkkä luku ei riitä. Myös miten laskit ja eri voitot on näyttävä.

 

[karotenoidi]

Laske loton odotusarvo yhdelle riville ilman lisänumeroita, kun päävoitto 10 miljoonaa euroa (voit olettaa, että voittoja ei jaeta useamman kesken).

Pelkkä luku ei riitä. Myös miten laskit ja eri voitot on näyttävä.

Näistä tuli selitettyä sisarketjussa, niin otanpa helpon pinnan talteen.

7 oikein -rivejä on luonnollisesti vain yksi.

6 oikein saadakseen täytyy valita seitsemästä numerosta kuusi ja jäljelle jäävistä 32:sta yksi. Vaihtoehtoja on siis 7*32=224 (näistä 14 on oikeasti 6+1 tuloksia, mutta sitä ei siis pitänyt huomioida).

5 oikein tulosta varten tarvitaan viisi numeroa seitsemästä ja kaksi 32:sta. Siis C(7,5)* C(32,2) = 21 * 496 = 10 416.

Vastaavasti 4 oikein -rivejä on C(7,4)* C(32,3) = 35 * 4960 = 173 600.

Kaikkiaan erilaisia rivejä on C(39,7) = 15 380 937.

Veikkauksen loton sivuilla sanotaan, että kuusi oikein tuloksella voittaa noin 2 000 euroa, viisi oikein tuloksella noin 50 euroa ja neljä oikein tuo 10 euroa, kun ei pelata tuplauksella. Siispä odotusarvo euromäärälle, jonka rivillä voittaa on sievennetyssä muodossa

(1 * 10 000 000 + 224 * 2000 + 10 416 * 50 + 173 600 * 10) / 15 380 937 ≈ 0.82601 euroa.

Rivihinta on yhden euron, joten odotusarvo prosentteina on siis noin 83 prosenttia.

 

[TomiP]

Näistä tuli selitettyä sisarketjussa, niin otanpa helpon pinnan talteen.

7 oikein -rivejä on luonnollisesti vain yksi.

6 oikein saadakseen täytyy valita seitsemästä numerosta kuusi ja jäljelle jäävistä 32:sta yksi. Vaihtoehtoja on siis 7*32=224 (näistä 14 on oikeasti 6+1 tuloksia, mutta sitä ei siis pitänyt huomioida).

5 oikein tulosta varten tarvitaan viisi numeroa seitsemästä ja kaksi 32:sta. Siis C(7,5)* C(32,2) = 21 * 496 = 10 416.

Vastaavasti 4 oikein -rivejä on C(7,4)* C(32,3) = 35 * 4960 = 173 600.

Kaikkiaan erilaisia rivejä on C(39,7) = 15 380 937.

Veikkauksen loton sivuilla sanotaan, että kuusi oikein tuloksella voittaa noin 2 000 euroa, viisi oikein tuloksella noin 50 euroa ja neljä oikein tuo 10 euroa, kun ei pelata tuplauksella. Siispä odotusarvo euromäärälle, jonka rivillä voittaa on sievennetyssä muodossa

(1 * 10 000 000 + 224 * 2000 + 10 416 * 50 + 173 600 * 10) / 15 380 937 ≈ 0.82601 euroa.

Rivihinta on yhden euron, joten odotusarvo prosentteina on siis noin 83 prosenttia.

Väärin. Tuolla metodilla Veikkaukselta loppuisi rahat. Vihje: odotusarvo on negatiivinen.

 

[karotenoidi]

Väärin. Tuolla metodilla Veikkaukselta loppuisi rahat. Vihje: odotusarvo on negatiivinen.

Taisin laskea vain rivin voittosumman osotusarvon (82,6 senttiä) ja palautusprosentin. Pelaajan tappion odotusarvo on siis 17,4 senttiä, jos sitä meinasit.

 

[TomiP]

Taisin laskea vain rivin voittosumman osotusarvon (82,6 senttiä) ja palautusprosentin. Pelaajan tappion odotusarvo on siis 17,4 senttiä, jos sitä meinasit.

Oikein. Odotusarvossa pitää ottaa huomioon kaikki todennäköisyydet.

Pistetilanne:

redlate: 4
huhheijaa: 1
kartenoidi: 1

 

[Kirjoittelija]

Mä tipuin kärryiltä. Ensin oletettiin, että voittoja ei jaeta useamman kesken. Ja sitten kuitenkin kuuden ja viiden oikean numeron rivien tuomat voitot jaettiin useampien kesken.

 

[TomiP]

Mä tipuin kärryiltä. Ensin oletettiin, että voittoja ei jaeta useamman kesken. Ja sitten kuitenkin kuuden ja viiden oikean numeron rivien tuomat voitot jaettiin useampien kesken.

Ei niitä jaeta, mutta on useampia eri tapoja saada 6, 5, 4, 3, 2,1 tahi 0 oikein.

 

[Kirjoittelija]

Ei niitä jaeta

Siis mitä? Tuolla karotenoidin laittamassa linkissähän sanotaan, että kuusi oikein -tuloksen veikanneiden kesken jaetaan 2,8 prosenttia kierroksen kokonaisvaihdosta. Jos kuusi oikein -tuloksella saa 2000 euroa, eikä kuusi oikein -voittoja ole jaettu useampien kesken, silloin kierroksen kokonaisvaihto on ollut noin 71 400 euroa. Ei kuulosta minusta kovin realistiselta.

on useampia eri tapoja saada 6, 5, 4, 3, 2,1 tahi 0 oikein.

Mutta jos ei viisi oikein -voittoja jaeta useampien kesken (kuten annoit luvan olettaa), silloin viisi oikein -tuloksia on ollut koko kierroksella vain yksi.

 

[TomiP]

Siis mitä? Tuolla karotenoidin laittamassa linkissähän sanotaan, että kuusi oikein -tuloksen veikanneiden kesken jaetaan 2,8 prosenttia kierroksen kokonaisvaihdosta. Jos kuusi oikein -tuloksella saa 2000 euroa, eikä kuusi oikein -voittoja ole jaettu useampien kesken, silloin kierroksen kokonaisvaihto on ollut noin 71 400 euroa. Ei kuulosta minusta kovin realistiselta.



Mutta jos ei viisi oikein -voittoja jaeta useampien kesken (kuten annoit luvan olettaa), silloin viisi oikein -tuloksia on ollut koko kierroksella vain yksi.

Ei. Odotusarvoja laskettaessa kyse on todennäköisyyksistä. Saada 5 oikein eri vaihtoehtoja (7c5)*(32c2)=10 4716 (lue 7 yli 5 kertaa 32 yli 2, ovat binomikertoimia). Tämä luku jaetaan kaikilla riveillä (=(39c7)=15 380 937) ja kerrotaan voitolla. Sama tehdään kaikille vaihtoehdoille.

 

[Kirjoittelija]

kerrotaan voitolla.

Ja tässä kohtaa tulee nimenomaan se ongelma. Tuo voittosumma on noissa kartenoidin laskelmissa täysin pielessä kategorioissa "kuusi oikein" ja "viisi oikein". Jos viisi oikein -voittoja "ei jaeta useamman kesken" (oma muotoilusi), silloin niitä viisi oikein -rivejä on ollut koko kierroksella tasan yksi, ja sillä saa 3,4 prosenttia kierroksen kokonaisvaihdosta. 0,00068 (viisi oikein -rivin todennäköisyys) kertaa 0,034 (viisi oikein -rivien osuus kierrosvaihdosta) kertaa kierroksen kokonaisvaihto on aika pirusti enemmän kuin tuo kolme senttiä, jota kartenoidi laskelmassaan käyttää.

Tehtävän lähtökohta olisi aivan erilainen, jos boldaamani kohdan:

Laske loton odotusarvo yhdelle riville ilman lisänumeroita, kun päävoitto 10 miljoonaa euroa (voit olettaa, että voittoja ei jaeta useamman kesken).

...sijasta olisit kirjoittanut näin: "Voit olettaa, että päävoittoa ei jaeta useamman kesken."

 

[TomiP]

Ja tässä kohtaa tulee nimenomaan se ongelma. Tuo voittosumma on noissa kartenoidin laskelmissa täysin pielessä kategorioissa "kuusi oikein" ja "viisi oikein". Jos viisi oikein -voittoja "ei jaeta useamman kesken", silloin niitä viisi oikein -rivejä on ollut koko kierroksella tasan yksi, ja sillä saa 3,4 prosenttia kierroksen kokonaisvaihdosta. 0,00068 (viisi oikein -rivin todennäköisyys) kertaa 0,034 (viisi oikein -rivien osuus kierrosvaihdosta) kertaa kierroksen kokonaisvaihto on aika pirusti enemmän kuin tuo kolme senttiä, jota kartenoidi laskelmassaan käyttää.

Tehtävän lähtökohta olisi aivan erilainen, jos boldaamani kohdan:



...sijasta olisit kirjoittanut näin: "Voit olettaa, että päävoittoa ei jaeta useamman kesken."

Koska odotusarvossa tarvitaan voiton määrä. Jos voittajia olii esim. kolme, niin silloin per lärvi tulisi vain 3, 333 miljoonaa. Se vaikuttaa odotusarvoon. Todennäköisyyksiin voittajien määrä ei vaikuta.

 

[Kirjoittelija]

Jos voittajia olii esim. kolme, niin silloin per lärvi tulisi vain 3, 333 miljoonaa.

Niin, eikä tämä taas liity asiaan mitenkään. Sinä sanoit, että voittoja ei jaeta useampien kesken. Silloin se ei koske pelkästään seitsemän oikein -rivejä, vaan myös niitä rivejä, joissa on kuusi oikein tai viisi oikein. Ja jos viisi oikein -voittoja ei jaeta useampien kesken, silloin viisi oikein -rivillä saa satoja tuhansia euroja, eikä viittäkymppiä kuten kartenoidin laskelmassa.

Jos viisi oikein -rivillä saa vain viiskymppiä, silloin viisi oikein -voittoja on jaettu tuhansien lottoajien kesken. Se on yhtä kuin "useampien kesken".

 

[TomiP]

Niin, eikä tämä taas liity asiaan mitenkään. Sinä sanoit, että voittoja ei jaeta useampien kesken. Silloin se ei koske pelkästään seitsemän oikein -rivejä, vaan myös niitä rivejä, joissa on kuusi oikein tai viisi oikein. Ja jos viisi oikein -voittoja ei jaeta useampien kesken, silloin viisi oikein -rivillä saa satoja tuhansia euroja, eikä viittäkymppiä kuten kartenoidin laskelmassa.

En jaksa enää. Selvitä itsellesi mitä tarkoittaa odotusarvo ja todennäköisyys.

 

[Kirjoittelija]

En jaksa enää. Selvitä itsellesi mitä tarkoittaa odotusarvo ja todennäköisyys.

Tai ehkäpä sinun kannattaa käydä kysymässä joltain suomen kielen ammattilaiselta, mitä eroa on sanoilla "voitto" ja "päävoitto".

 

[TomiP]

Tai ehkäpä sinun kannattaa käydä kysymässä joltain suomen kielen ammattilaiselta, mitä eroa on sanoilla "voitto" ja "päävoitto".

Kysyin mikä on pelaajan odotusarvo yhdellä rivillä, jos päävoitto on 10 miljoonaa. Tämä on yksiselitteinen kysymys. Sinä et ymmärrä mikä on odotusarvo. Siksi kyselet tyhmiä.

 

[Kirjoittelija]

Kokeilenpa itse laskea vastauksen tuohon TomiP:n kysymykseen. Löysin Googlella huonosti tietoja loton kierrosvaihdoista, mutta mä nyt oletan tässä, että jos päävoittona on kymmenen miljoonaa, silloin suomalaiset lottoavat kymmenellä miljoonalla. Silloin kierroksen ainoalla kuusi oikein -rivillä saa 280 000 euroa ja kierroksen ainoalla viisi oikein -rivillä 340 000 euroa. Ei tarvitsekaan enää kuin korvata kartenoidin laskelmassa luku 2000 luvulla 280 000 ja luku 50 luvulla 340 000.

(1 * 10 000 000 + 224 * 280 000 + 10 416 * 340 000 + 173 600 * 10) / 15 380 937 ≈ 235,09

Pelaajan voiton odotusarvo on siis 234 euroa. Noilla oddseilla vetäisin itsekin lottoa pää märkänä, mutta valitettavasti tuo TomiP:n oletus, jossa kuudella oikein tai viidellä oikein saa pitää yksin koko ko. voittoluokan potin, toteutuu kovin harvoin.

 

[TomiP]

Kokeilenpa itse laskea vastauksen tuohon TomiP:n kysymykseen. Löysin Googlella huonosti tietoja loton kierrosvaihdoista, mutta mä nyt oletan tässä, että jos päävoittona on kymmenen miljoonaa, silloin suomalaiset lottoavat kymmenellä miljoonalla. Silloin kierroksen ainoalla kuusi oikein -rivillä saa 280 000 euroa ja kierroksen ainoalla viisi oikein -rivillä 340 000 euroa. Ei tarvitsekaan enää kuin korvata kartenoidin laskelmassa luku 2000 luvulla 280 000 ja luku 50 luvulla 340 000.

(1 * 10 000 000 + 224 * 280 000 + 10 416 * 340 000 + 173 600 * 10) / 15 380 937 ≈ 235,09

Pelaajan voiton odotusarvo on siis 234 euroa. Noilla oddseilla vetäisin itsekin lottoa pää märkänä, mutta valitettavasti tuo TomiP:n oletus, jossa kuudella oikein tai viidellä oikein saa pitää yksin koko ko. voittoluokan potin, toteutuu kovin harvoin.

Ai, että 5 oikein tuloksella saa enemmän kuin 6 oikein? Lasku on väärin koska, voitot ovat toistensa poissulkevia. Oikeasti odotusarvo on aina negatiivinen. Muuten veikkaus ei peliä laittaisi pelattavaksi.

 

[TomiP]

Tämän takia en halua sotkeutua typeriin numerolaskuihin, koska usein ovat tulkinnanvaraisia. Oikeasti tuossa lottotehtävässä, pitäisi käydä kaikki mahdolliset voitonjaot lävitse. Mutta takaan, että yksittäisin rivin odotusarvo on negatiivinen.

 

[Kirjoittelija]

Ai, että 5 oikein tuloksella saa enemmän kuin 6 oikein?

Kyllä, kierroksen ainoalla 5 oikein -tuloksella saa enemmän rahaa kuin kierroksen ainoalla 6 oikein -tuloksella. Tämä näkyy ihan sieltä karotenoidin linkistä. Viisi oikein veikanneiden kesken jaetaan 3,4 pinnaa kierrosvaihdosta ja kuusi oikein veikanneiden kesken 2,8 pinnaa. 3,4 on isompi luku kuin 2,8.

Mutta takaan, että yksittäisin rivin odotusarvo on negatiivinen.

Totta helvetissä se on, koska käytännössä viisi oikein -rivejä ei ole koskaan vain yhtä kuten tuossa lähtöoletuksessasi. Mutta minusta lasku pitää suorittaa tehtävänannon mukaan.

 

[TomiP]

Tehdään toinen yksikäsitteinen tehtävä.

Pelataan peliä seuraavasti: Heitetään 10 2 euron kolikkoa, voitat kaikki jos vähintään 3 kruunaa häviät kaiken muuten, toistetaan tämä 20 kertaa. Laske odotusarvo

 

[TomiP]

Kyllä, kierroksen ainoalla 5 oikein -tuloksella saa enemmän rahaa kuin kierroksen ainoalla 6 oikein -tuloksella. Tämä näkyy ihan sieltä karotenoidin linkistä. Viisi oikein veikanneiden kesken jaetaan 3,4 pinnaa kierrosvaihdosta ja kuusi oikein veikanneiden kesken 2,8 pinnaa. 3,4 on isompi luku kuin 2,8.



Totta helvetissä se on, koska käytännössä viisi oikein -rivejä ei ole koskaan vain yhtä kuten tuossa lähtöoletuksessasi. Mutta minusta lasku pitää suorittaa tehtävänannon mukaan.

Jep. Mutta oma laskusi oli väärin jopa tehtävänannon mukaan. Et ottanut lainkaan huomioon 1 euron hintaa ja sen häviämisen todennäköisyyttä.

 

[TomiP]

Kiitos @Kirjoittelija :lle siitä, että osoitit, että tehtävänantoni oli typerä:

Tässä parempi lottoversio.

1) Mikä on todennäköisyys saada ainakin yhdellä rivillä 20 rivistä vähintään 4 oikein.

2) Mikä on keskimääräisellä voitonjaolla (kunkin voittoluokan keskimääräinen voitto) 20 rivin voiton odotusarvosi.

Lisänumerot ovat mukana (paitsi 1) kohdassa)