Matematiikkapähkinät

[redlate]

1/p(z):lla ei ole välttämättä suurinta tai pienintä arvoa. Kompleksitaso ei ole kompakti. Hain sitä, että |p(z)| menevät äärettömyyteen kun |z| menee äärettömyyteen (helppo osoittaa). Tästä seuraa, että 1/|p(z)| menee 0, kun |z| menee äärettömyyteen. Joten on olemassa R>0 s.e. 1/|p(z)|<1, kun |z|>R näin funktio 1/|p(z)| on rajoitettu, tästä seuraa, että 1/p(z) olisi vakio Liuovillen lauseen perusteella (eli p(z) olisi vakio myös). Tämä on ristiriita.

Hyväksyn kuitenkin vastauksesi.

No joo. Yhtäkaikki 1/p(z) saadaan rajoitetuksi myös tässä tilanteessa.

 

[redlate]

Seuraava pähkinä:

Ratkaise DY y''(x)+ay'(x)+by(x)=c*sin(d*x). a,b, c ja d ovat reaalivakioita d/=0

Kuinka tarkan ratkaisun haluat? Riittääkö tämä kun tabletilla kirjoittelen, niin matemaattinen notaatio on hieman työlästä.
y(x)=C1e^r1x+C2e^r2x+Tsin(dx)+Kcos(dx), missä r1 ja r2 ovat karakteristisen yhtälön r^2+ar+c=0 ratkaisut. Mikäli kaksoisjuuria, niin sitten Ce^rx+Cxe^rx tai kompleksijuurten tapauksessa sitten Eulerin nojalla eteenpäin. K ja T saadaan yhtälöryhmästä yritefunktion avulla. En jaksanut käsin vääntää. Laskin antoi
T=-((b(3333c-d)+d^3)/(11108889bd) ja K=d/3333b ja lisäksi erikoistapauksia mikäli jokin vakioista on nolla.

 

[TomiP]

Kuinka tarkan ratkaisun haluat? Riittääkö tämä kun tabletilla kirjoittelen, niin matemaattinen notaatio on hieman työlästä.
y(x)=C1e^r1x+C2e^r2x+Tsin(dx)+Kcos(dx), missä r1 ja r2 ovat karakteristisen yhtälön r^2+ar+c=0 ratkaisut. Mikäli kaksoisjuuria, niin sitten Ce^rx+Cxe^rx tai kompleksijuurten tapauksessa sitten Eulerin nojalla eteenpäin. K ja T saadaan yhtälöryhmästä yritefunktion avulla. En jaksanut käsin vääntää. Laskin antoi
T=-((b(3333c-d)+d^3)/(11108889bd) ja K=d/3333b ja lisäksi erikoistapauksia mikäli jokin vakioista on nolla.

Haluan kaikki vastaukset. Eli karakteristisen yhtälönratkaisut ja erikoisratkaisu. Nuo erikoisratkaisun vakiot ovat käsinratkottuna luultavasti helpommassa muodossa (en ole vielä itse ratkaissut sitä). Eli erikoisratkaisun olisi oltava siistimpi.

Myös r1 ja r2 olisi hyvä kirjoittaa auki.

 

[redlate]

Haluan kaikki vastaukset. Eli karakteristisen yhtälönratkaisut ja erikoisratkaisu. Nuo erikoisratkaisun vakiot ovat käsinratkottuna luultavasti helpommassa muodossa (en ole vielä itse ratkaissut sitä). Eli erikoisratkaisun olisi oltava siistimpi.

Näyttivätkin vähän häijyiltä. Jos aikaa myöhemmin riittää, niin palaan asiaan.

 

[TomiP]

Näyttivätkin vähän häijyiltä. Jos aikaa myöhemmin riittää, niin palaan asiaan.

Erikoisratkaisuun tulee vaihesiirto eli on muotoa Tsin(d*x+s) eli haluan vaiheen muodossa tan(s)= jotakin ja haluan T:n.

 

[redlate]

Uusi yritys. r1=(-a+(a^2-4b)^(1/2))/2 ja r2=(-a-(a^2-4b)^(1/2))/2 Jolloin siis C1e^r1x+C2e^r2x=H(y) ja E(x)=Asin(dx)+Bcos(dx), missä
A=(c(b^2-d^2)/((b^2-d^2)-(ad)^2) ja B=acd/((b^2-d^2)-(ad)^2) ja lopullinen ratkaisu H(x)+E(x)

 

[TomiP]

Uusi yritys. r1=(-a+(a^2-4b)^(1/2))/2 ja r2=(-a-(a^2-4b)^(1/2))/2 Jolloin siis C1e^r1x+C2e^r2x=H(y) ja E(x)=Asin(dx)+Bcos(dx), missä
A=(c(b^2-d^2)/((b^2-d^2)-(ad)^2) ja B=acd/((b^2-d^2)-(ad)^2) ja lopullinen ratkaisu H(x)+E(x)

Oikein.

 

[TomiP]

Pistetilanne:

redlate: 3
huhheijaa: 1

 

[redlate]

Ratkaise DY y''(x)+ay'(x)+by(x)=c*sin(d*x). a,b, c ja d ovat reaalivakioita d/=0

Onko mahdollista tilanne, jos a=0 ja b >0, että H(y) antaa sin(dx):n? Ilmeisesti ei. En viitsi tarkistaa.

 

[TomiP]

Onko mahdollista tilanne, jos a=0 ja b >0, että H(y) antaa sin(dx):n? Ilmeisesti ei. En viitsi tarkistaa.

On mutta etuvakio ei enää c vaan c/(b-d^2).

 

[TomiP]

Uusi pähkinä:

Todista, että R^N -avaruuksissa joukko on kompakti, jos ja vain jos se on suljettu ja rajoitettu.

 

[TomiP]

Huomautus tähän pähkinään. Metrisissä avaruuksissa kompakti joukko on aina suljettu ja rajoitettu, mutta yleensä käänteinen ei päde (R^N-avaruuksissa se pätee, niiden geometrisesta rakenteesta johtuen). Topologisissa avaruuksissa kompaktit joukot ovat aina suljettuja, jos avaruus on ns. Hausdorff-avaruus (metriset avaruudet ovat kaikki Hausdorff-avaruuksia). Yleisessä topologisessa avaruudessa kompaktit joukot voivat olla ei-suljettuja.

 

[TomiP]

Vinkki: Todistus näköjään löytyy wikipediasta.

 

[redlate]

Vinkki: Todistus näköjään löytyy wikipediasta.

Huomasin kun kertailin kompaktin joukon ehtoja. Jätän copypasten muille yrittäjille.

 

[TomiP]

Ilmeisesti tähän pähkinään ei tule ratkaisua.

Jätän tehtävän kuitenkin auki, jos joku haluaa esittää ratkaisun saa pisteet.

Uusi pähkinä:

Jatketaan kompakteilla joukoilla:
Osoita, että Hausdorff-avaruuksissa kompakti joukko on suljettu eli avoimen eli topologiaan kuuluvan joukon komplementti.

Avuksi määrittelen Hausdorff-avaruuden. Hausdorff-avaruuksissa jokaisella pisteparilla on pistevieraat avoimet ympäristöt.
Eli jos A on Hausdorff-avaruus ja x, y (x ei y) ovat kaksi (eri) pistettä avaruudessa on olemassa avoimet joukot V ja U siten, että
x kuuluu V:hen ja y U:hun, V ja U ovat pistevieraita eli niiden leikkaus on tyhjä joukko (ei sisällä yhtään pistettä).

 

[TomiP]

Lisä huomautus. Tässä oletetaan, että ko. Hausdorff-avaruudella EI ole metriikkaa. Metriset avaruudet ovat Hausdorff-avaruuksia, mutta vain erikoistapauksia yleisestä Hausdorff-avaruudesta.

 

[TomiP]

Vihje:
Jos K on kompakti, niin ota x_0 K:n komplementista, konstruoi K:lle sopiva avoin peite käyttäen pisteparien avointen ympäristöjen pistevierautta hyväksesi. Näin saat x_0 avoimen ympäristön, joka on pistevieras K:n kanssa. Toista operaatio, kaikille K:n komplementin pisteille (tätä ei oikeasti tarvitse tehdä, sillä x_0 ei ole mitenkään erikoinen piste ja sama päättely pätee kaikille K:n komplementin pisteille)..

 

[Kirjoittelija]

Totuus taitaa olla juurikin kuten sanoin, että oikeistolaiset usein rehvastelevat ilman mitään pohjaa.

Linkki YouTube-videopalveluun:
Ketonen Ja Myllyrinne Opettaja - YouTube

 

[TomiP]

Linkki YouTube-videopalveluun:
Ketonen Ja Myllyrinne Opettaja - YouTube

Siksi ei kannatakaan ryhtyä opettajaksi. Opettajaksi yleensä joudutaan eikä päästä.

 

[vilpertti]

Linkki YouTube-videopalveluun:
Ketonen Ja Myllyrinne Opettaja - YouTube

Erinomainen video juuri tähän =)

Itselle tuli lähinnä sääli tätä meidän Tomia (hei... haittaako jos kutsun Tompaksi? No ei sen väliä, kutsun silti) kohtaan. Kaveri oikeasti näyttää pitävän tätä keskustelupalstaa niin tärkeänä paikkana, että egon pönkittäminen ja joku tiedon esittely täällä on tärkeää. Että ikään kuin tämä olisi joku tikapuu missä nokittelemalla voi nousta suurimpaan arvoon. Ja kun itse määrittelee ylhäältä käsin arvonmuodostuksen (tämä ketju), on myöskin itse kisan auktoriteetti, palstan pääministeri. Jotta homma olisi täydellistä, samassa viitekehyksessä tehdään yleisölle ketju jossa he voivat kysyä juuri Tompan asiantuntemukseen liittyviä asioita. Näin Tomppa on määritellyt, että no matematiikka se on se millä kuvitteellisilla mutta Tompalle ikävä kyllä ilmeisen todellisilla tikkailla noustaan. Tämän jälkeen, jos muissa asiayhteyksissä Tomppaa faktoilla ja perusteluilla kiusanneet kanssakeskustelijat eivät olekaan samalle alalle erikoistuneita osaajia, he ovat ainakin tyhmiä ja todennäköisesti myös heidän näkemyksensä muissa asioissa voidaan kyseenalaistaa.

Ja on se matematiikka juu todella tärkeää. Tosi hienoa Tomppa, että osaat sitä, äitikin on varmasti ylpeä kun on niin fiksun pojan tehnyt. HYVÄ!

 

[TosiFani]

Siksi ei kannatakaan ryhtyä opettajaksi. Opettajaksi yleensä joudutaan eikä päästä.

Tällä hetkellä tämä opettajan ammatti on oikein mukavaa...

 

[TomiP]

Tällä hetkellä tämä opettajan ammatti on oikein mukavaa...

Ei ollut toki tarkoitus loukata. Itseasiassa uskon suurimman osan opettajista halunneen opettajiksi. Toki opettajilla on tietyt hyvät edut (lomat, joihin taisit itsekin viitata).

 

[TomiP]

Erinomainen video juuri tähän =)

Itselle tuli lähinnä sääli tätä meidän Tomia (hei... haittaako jos kutsun Tompaksi? No ei sen väliä, kutsun silti) kohtaan. Kaveri oikeasti näyttää pitävän tätä keskustelupalstaa niin tärkeänä paikkana, että egon pönkittäminen ja joku tiedon esittely täällä on tärkeää. Että ikään kuin tämä olisi joku tikapuu missä nokittelemalla voi nousta suurimpaan arvoon. Ja kun itse määrittelee ylhäältä käsin arvonmuodostuksen (tämä ketju), on myöskin itse kisan auktoriteetti, palstan pääministeri. Jotta homma olisi täydellistä, samassa viitekehyksessä tehdään yleisölle ketju jossa he voivat kysyä juuri Tompan asiantuntemukseen liittyviä asioita. Näin Tomppa on määritellyt, että no matematiikka se on se millä kuvitteellisilla mutta Tompalle ikävä kyllä ilmeisen todellisilla tikkailla noustaan. Tämän jälkeen, jos muissa asiayhteyksissä Tomppaa faktoilla ja perusteluilla kiusanneet kanssakeskustelijat eivät olekaan samalle alalle erikoistuneita osaajia, he ovat ainakin tyhmiä ja todennäköisesti myös heidän näkemyksensä muissa asioissa voidaan kyseenalaistaa.

Ja on se matematiikka juu todella tärkeää. Tosi hienoa Tomppa, että osaat sitä, äitikin on varmasti ylpeä kun on niin fiksun pojan tehnyt. HYVÄ!

Se toisen ketjun avasin, jotta tähän ketjuun ei tulla esittämään omia tehtäviä, kuten heti alussa kävi.
Muutama palstan persuoikeistolainen piikitteli minulle matematiikasta aiemmin, joten piikitin heitä takaisin.

Huomauttaisin vielä, että matematiikka ei ole alani.


Ja nyt loppuu muusta kuin matematiikasta paskan jauhaminen tässä ketjussa.

 

[Melko Huono]

Ja nyt loppuu muusta kuin matematiikasta paskan jauhaminen tässä ketjussa.

Tuskin loppuu mikäli se sinusta on kiinni.

Viimeisimpään pähkinään vastaan komplementti 4 on kompakti toisen suhteen Hausdorff-avaruus 6 avoin v joukko 2 eli ei tai joo jyrkkä ehkä.

 

[TomiP]

Tuskin loppuu mikäli se sinusta on kiinni.

Viimeisimpään pähkinään vastaan komplementti 4 on kompakti toisen suhteen Hausdorff-avaruus 6 avoin v joukko 2 eli ei tai joo jyrkkä ehkä.

Väärä vastaus.