Lauantaipähkinöitä

[Pepe]

Viestin lähetti Everton
Kinkkisempi kysymys kuuluukin siis, voiko kyssäriin olla useampi kuin yksi oikea vastaus. Epäilenpä että ei.

Oletus vihreä talon valkoisen vieressä.

Seuraavassa järjestyksessä vihjeitä käyttämällä näkee, ettei vastauksia ole enempää kuin yksi.
9 - 8 - 14 - (4&5) - 1 - 7 - 11 - 3* - 12 - 13 - 2 - 6 - 10 - 15 - Kysymys

* Hyödynnettävä vihjeitä 12, 13 ja 2.

 

[Sylinteri]

Heitetäänpä täältä seuraava pähkinä:
Suomalaisessa kirjastossa on viisi kirjaa vierekkäin. Jokaisen kirjan kannet ovat sentin paksuiset (siis etukansi, että takakansi 0,5 senttiä). Nideosa on jokaisessa kirjassa neljä senttiä paksu. Kirjatoukka alkaa syödä kirjoja ensimmäisen kirjan ensimmäiseltä sivulta ja syö viimeisen kirjan viimeiselle sivulle asti. Kuinka monen sentin matkan kirjatoukka syö?

Kas. Ei taidettu tätä vielä ratkaista. Ensimmäisestä ja viimeisestä kirjasta ei toukka napsi kuin yhteensä 1cm, koska ensimmäisen kirjan ensimmäinen sivu on "oikealla" eikä vasemmalla edellyttäen että kirjat ovat oikein päin hyllyssä ja toisaalta taas viimeisen kirjan takasivu on "vasemmalla". Näin ollen toukka syö yhteensä 0.5+5+5+5+0.5=16cm

Näin aamulla klo 3.30 on hyvä kysyä mielestäni yksi kaikkien aikojen hienoimmista arvoituksista. Muistan kuulleeni tämän joskus 15v sitten ja sittemmin olen tätä viljellyt ympäri maailmaa. Se kuuluu alkuperäisessä muodossaan näin:

Mikä on pyöreä kuin pallo ja pitkä kuin kirkon seinä?

 

[tonttu83]

Viestin lähetti Sylinteri
Mikä on pyöreä kuin pallo ja pitkä kuin kirkon seinä?

Olisikohan tuo pyöreä kirkon seinä?

 

[Ziege]

Tässä myöskin mukava pähkinä:
Kolmesta tehtaasta menee linja 3 taloon. Kaikki tehtaat ovat siis yhteydessä kolmeen taloon. Linjat eivät saa mennä päällekkäin. Koittakaapas ratkaista.

 

[Pepe]

Torstaipähkinä

Arnold on valinnut kaksi kokonaislukua x ja y väliltä 2-100 ja antanut kahdelle jatkoaikalaiselle, Vakiolle ja Ghostille, luvut xy ja x+y, Vakiolle luvun xy ja Ghostille luvun x+y. Vakio ja Ghost tapaavat. Vakio sanoo: "Tiedän luvun xy, mutta en osaa päätellä lukuja x ja y." Ghost vastaa: "Tiesin tuon." Tähän Vakio: "Nyt tiedän luvut x ja y." Ghost ilmoittaa: "Niin minäkin." Mitkä ovat luvut x ja y?

Vakio ja Ghost tietävät kokonaislukujen olevan väliltä 2-100 ja että toiselle on kerrottu lukujen summa ja toiselle lukujen tulo.

Tämä on todella vaikea pähkinä. Kuitenkin ainoa matemaattinen vaatimus (perusjuttujen lisäksi) on tieto, että jokaisen positiivisen kokonaisluvun voi esittää yksikäsitteisesti alkulukujen tulona (esim. 42=2*3*7). Pitäisi olla siis lukiomatematiikalla ratkaistavissa.

 

[Everton]

Viestin lähetti Ziege
Tässä myöskin mukava pähkinä:
Kolmesta tehtaasta menee linja 3 taloon. Kaikki tehtaat ovat siis yhteydessä kolmeen taloon. Linjat eivät saa mennä päällekkäin. Koittakaapas ratkaista.

Hankala piirtää, mutta kokeillaan:

[]--[]--[]
l l l (<-nuo siis kuuluisi mennä eri talosta eri taloon...)
[]--[]--[]

Olikohan tuo se mitä tarkoitit?

 

[varjo]

saatanan Pepe nyt veit minulta yöunet prkl.

5 minuuttia muodostin mahdollisia lukujonoja ja hermot menivät.
Yksi kysymys, voivatko x=y?

Pitänee lähteä lenkille jos vaikka siinä juostessa oivaltaisi tuonkin ongelman, itselläni on paha tapa tajuta asioita aivan asiasta riippumattomissa tilanteissa.

 

[Ziege]

Viestin lähetti Everton


Hankala piirtää, mutta kokeillaan:

[]--[]--[]
l l l (<-nuo siis kuuluisi mennä eri talosta eri taloon...)
[]--[]--[]

Olikohan tuo se mitä tarkoitit?

Kaikista tehtaista pitäisi mennä suoraan kaikkiin taloihin eli jokaisesta tehtaasta pitäisi lähteä kolme linjaa ja jokaiseen taloon saapua kolme. Tähän ei välttämättä ole edes ratkaisua. Viime viikon perjantai meni kokonaisuudessaan tämän ääressä ja aina yhtä linjaa ei pystynyt laittamaan.

 

[Pepe]

Viestin lähetti varjo
saatanan Pepe nyt veit minulta yöunet prkl.

5 minuuttia muodostin mahdollisia lukujonoja ja hermot menivät.
Yksi kysymys, voivatko x=y?

Pitänee lähteä lenkille jos vaikka siinä juostessa oivaltaisi tuonkin ongelman, itselläni on paha tapa tajuta asioita aivan asiasta riippumattomissa tilanteissa.

Tehtävä ei kiellä, etteikö x=y voisi olla mahdollinen, mutta jo alun vihjeiden perusteella voidaan päätellä, ettei näin voi olla. Kannattaa aluksi karsia ehdokkaita kahden ensimmäisen vihjeen avulla, minkä jälkeen jäljelle jää 10 joukkoa, joissa on yhteensä 145 alkiota.

Ziegen tehtävään vastaus on, ettei ratkaisua ole olemassa. Matemaattisesti sanottuna verkko K_3,3 ei ole planaarinen. Euler todisti sen vuonna 1750.

 

[Paananen]

Jäikö Pepeltä jotain kertomatta? Mielestäni mainitulla tiedoilla löytyy aika monta ehdot täyttävää ratkaisua.

Oletuksena siis ettei xy ole vain kahden em ehdot täyttävän kokonaisluvun tulo (esim 35), jolloin sen päättely olisi helppoa.

On kuitenkin useita lukuja, jotka saadaan kertomalla eri alkuluvut tai näiden kerronnaiset keskenään.
Esim xy=12, jolloin x voi olla esim 2 tai 3 ja y vastaavasti 6 tai 4.

Alempana olevassa ratkaisumallissa on esitetty luvut 4 ja 13. Näiden tulo on 52, mutta myös lukujen 2 ja 26 tulo on 52.

Eli joko a) meikäläiseltä on jäänyt joku pointti huomaamatta tai b) tehtävänannosta puuttuu joku täsmentävä tieto.

 

[calvin]

X=4, Y=13. Pystyykö tuon todistamaan matemaattisesti että se on ainoa ratkaisu (eli onko tuo edes ainoa ratkaisu, ainakin se on ensimmäinen pari joka antaa sopivan ratkaisun)?

Piru vie, meni koko iltapäivä tähän, mutta nyt voikin lähteä hyvillä mielin töistä kotiin :)

 

[varjo]

calvin:
Kyllä se periaatteessa onnistuu mutta sanoisin että kokeileminen ja eliminointi ovat tässä tehtävässä paras tapa ratkaista ongelma.

Itse yritin lähteä luomaan sellaista lukujoukkoa joka täyttäisi vaaditut ehdot mutta siihen meni jumalattomasti aikaa ja sitten totesin vain että jotta Vakio ei tietäisi x:ää ja y:tä täytyy xy:n olla parillinen ja ei-kahdesta alkuluvusta koostuva.

Nyt kun ilmoitit luvut niin en enää jaksa asiaa pohtia koska tiedän että "löytäisin" liian helposti oikeat luvut koska tiedän ne.

Pepe voisi laittaa esille oikean tavan ratkaista ongelma.
Matemaattinen ratkaisu ei kyllä takuulla ole Lukio-tasoa, kokeiluratkaisua vaatii vain istumalihaksia.

 

[calvin]

Oma taktiikkani oli se, että otin kaksi joukkoa (toisen tulolle ja toisen summalle) joista kylmästi rajoitin mahdollisen summan ja tulon välille 2-100, ja sen jälkeen noista joukosta eliminoin mahdottomat pois (alkulukusummat ja -tulot pois, samanluvun toiset potenssit pois, jne.) ja sitten vaan järkeilemään jäljelle jäävistä mahdollisia vaihtoehtoja. Luotin siihen että pari löytyy joukkojen tekijöistä ja kyllähän tuohon muutama sivu ruutuvihkoa kuluikin. Ei mikään kaunis tapa, eikä varmaan kaikkein tehokkainkaan ja hermotkin meinas jo välillä mennä...

 

[Pepe]

Loistavaa calvin. Saat ääneni jatkoaikalaisäänestyksessä.

Paananen:
(2,6) ei ole oikea vastaus, koska jos se olisi, G ei voisi tietää, ettei V tiedä. Tämä siksi, koska 2+6=3+5 ja parista (3,5) V pystyisi päättelemään luvut. Vastaavasti 3+4=2+5 ja tällöinkin V voisi pystyä päättelemään luvut.


Kyhäsin tällaisen todistuksen, ei varmaankaan tyylikkäin mahdollinen:

Tutkitaan ensiksi summaa x+y. Koska G tietää, ettei V tiedä lukuja, niin voidaan päätellä, että lukujen summa ei voi olla minkään kahden alkulukujen tulo tai summa ei voi olla suurempi tai yhtä suuri kuin 55.

Summavälillä [55,152] valitaan x=53 ja y=2,3,...,99. Näiden lukuparien tulon voi esittää annettujen ehtojen mukaisesti vain yhdellä tavalla, sillä 53 alkuluku ja jos sitä kertoisi toisella alkuluvulla uusi luku olisi suurempi kuin 100. Summa ei siis voi kuulua edellä mainitulle välille. Vastaavasti summavälillä [153,196] valitaan x=97 ja y=56,....,99. Summa ei voi olla myöskään 197 tai 198, koska silloin luvut olisivat (98,99) ja (99,99), jolloin niiden tulosta selviäisi alkuperäiset luvut.

Summa ei voi olla myöskään parillinen luku, sillä 3, 5 ja 7 ovat alkulukuja ja pienimmät kolme peräkkäistä paritonta lukua, jotka eivät ole alkulukuja, ovat suurempia kuin 60. Näin ollen jokainen parillinen luku (väli [4,54] ) voidaan esittää kahden alkuluvun summana.

Jäljellä summaehdokkaiksi ovat luvut 5,7,9,..., 53. Näistä karsiutuu kahden alkuluvun summana seuraavat pois. 2+3=5, 2+5=7, 2+7=9, 2+11=13, 2+13=15, 2+17=19, 2+19=21, 2+23=25, 2+29=31, 2+31=33, 2+37=39, 2+41=43, 2+43=45, 2+47=49. Summa ei voi olla 51, koska lukujen 17 ja 34 tulosta 578=2*17*17 voi päätellä alkuperäiset luvut.

Loppuja summavaihtoehtoja ei voi esittää kahden alkuluvun summana, eikä niille löydy samanlaista tilannetta kuin summalle 51, joten ne ovat mahdollisia summiksi kahden ensimmäisen vihjeen perusteella. Summa on siis 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47 tai 53. Merkitään edellisten lukujen joukkoa A:na.

Toiseksi viimeisestä vihjeestä voidaan päätellä, että lukujen tuloa ei saa kyetä millään muulla tavalla niin, että lukujen summa kuuluu joukkoon A. Viimeisen vihjeen mukaan joukossa, joka muodostuu pareista, joilla on sama summa, ei saa olla kuin yksi edellislauseen ehdot täyttävä lukupari.

Summa ei voi olla 11, koska parin (2,9) ja parin (3,8) tulosta ei saa muodostettua toista paria, jonka summa kuuluu A:han. Vastaavasti se ei ole 23 (4,19) ja (7,16), 27 (2,25) ja (4,23), 29 (2,27) ja (4,25), 35 (3,32) ja (4,31), 37 (5,32) ja (6,31), 41 (3,38) ja (4,37), 47 (4,43) ja (6,41) eikä 53 (3,50) ja (4,49).

Ainoa vaihtoehto summaksi on siis 17. Koska 2*15=5*6 ja parien (2,15) ja (5,6) summat kuuluvat A:han, pari (2,15) ei ole ratkaisu. Vastaavasti 3*14=2*21, 5*12=3*20, 6*11=2*33, 7*10=2*35 ja 8*9=3*24.

Ainoa vaihtoehto ehdot täyttäväksi lukupariksi on (4,13). Mikäli parin (4,13) tulosta ei voi muodostaa toista joukkoon A kuuluvaa summaa, on se tehtävän ratkaisu. Näin on, sillä 4*13=2*2*13. Ainoa muu vaihtoehto lukupariksi on (2,26) ja se ei kuulu A:han.

 

[MadMan]

Viestin lähetti Pepe

Ziegen tehtävään vastaus on, ettei ratkaisua ole olemassa. Matemaattisesti sanottuna verkko K_3,3 ei ole planaarinen. Euler todisti sen vuonna 1750.

Onks sul jotain tekemistä Jyväskylän yliopiston kanssa?? Ajattelin vaan että sun matikan tietämys on poikkeuksellisen laaja :D

 

[Pepe]

MadMan: Saattaa olla.

Edellisessä todistuksessa muistin lukujen olevan väliltä 2-99, eikä 2-100. Kuitenkaan summa ei voi olla missään tapauksessa 197-200, koska tällöin tulo olisi jokaisessa tapauksessa helposti pääteltävissä.