Loistavaa calvin. Saat ääneni jatkoaikalaisäänestyksessä.
Paananen:
(2,6) ei ole oikea vastaus, koska jos se olisi, G ei voisi tietää, ettei V tiedä. Tämä siksi, koska 2+6=3+5 ja parista (3,5) V pystyisi päättelemään luvut. Vastaavasti 3+4=2+5 ja tällöinkin V voisi pystyä päättelemään luvut.
Kyhäsin tällaisen todistuksen, ei varmaankaan tyylikkäin mahdollinen:
Tutkitaan ensiksi summaa x+y. Koska G tietää, ettei V tiedä lukuja, niin voidaan päätellä, että lukujen summa ei voi olla minkään kahden alkulukujen tulo tai summa ei voi olla suurempi tai yhtä suuri kuin 55.
Summavälillä [55,152] valitaan x=53 ja y=2,3,...,99. Näiden lukuparien tulon voi esittää annettujen ehtojen mukaisesti vain yhdellä tavalla, sillä 53 alkuluku ja jos sitä kertoisi toisella alkuluvulla uusi luku olisi suurempi kuin 100. Summa ei siis voi kuulua edellä mainitulle välille. Vastaavasti summavälillä [153,196] valitaan x=97 ja y=56,....,99. Summa ei voi olla myöskään 197 tai 198, koska silloin luvut olisivat (98,99) ja (99,99), jolloin niiden tulosta selviäisi alkuperäiset luvut.
Summa ei voi olla myöskään parillinen luku, sillä 3, 5 ja 7 ovat alkulukuja ja pienimmät kolme peräkkäistä paritonta lukua, jotka eivät ole alkulukuja, ovat suurempia kuin 60. Näin ollen jokainen parillinen luku (väli [4,54] ) voidaan esittää kahden alkuluvun summana.
Jäljellä summaehdokkaiksi ovat luvut 5,7,9,..., 53. Näistä karsiutuu kahden alkuluvun summana seuraavat pois. 2+3=5, 2+5=7, 2+7=9, 2+11=13, 2+13=15, 2+17=19, 2+19=21, 2+23=25, 2+29=31, 2+31=33, 2+37=39, 2+41=43, 2+43=45, 2+47=49. Summa ei voi olla 51, koska lukujen 17 ja 34 tulosta 578=2*17*17 voi päätellä alkuperäiset luvut.
Loppuja summavaihtoehtoja ei voi esittää kahden alkuluvun summana, eikä niille löydy samanlaista tilannetta kuin summalle 51, joten ne ovat mahdollisia summiksi kahden ensimmäisen vihjeen perusteella. Summa on siis 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47 tai 53. Merkitään edellisten lukujen joukkoa A:na.
Toiseksi viimeisestä vihjeestä voidaan päätellä, että lukujen tuloa ei saa kyetä millään muulla tavalla niin, että lukujen summa kuuluu joukkoon A. Viimeisen vihjeen mukaan joukossa, joka muodostuu pareista, joilla on sama summa, ei saa olla kuin yksi edellislauseen ehdot täyttävä lukupari.
Summa ei voi olla 11, koska parin (2,9) ja parin (3,8) tulosta ei saa muodostettua toista paria, jonka summa kuuluu A:han. Vastaavasti se ei ole 23 (4,19) ja (7,16), 27 (2,25) ja (4,23), 29 (2,27) ja (4,25), 35 (3,32) ja (4,31), 37 (5,32) ja (6,31), 41 (3,38) ja (4,37), 47 (4,43) ja (6,41) eikä 53 (3,50) ja (4,49).
Ainoa vaihtoehto summaksi on siis 17. Koska 2*15=5*6 ja parien (2,15) ja (5,6) summat kuuluvat A:han, pari (2,15) ei ole ratkaisu. Vastaavasti 3*14=2*21, 5*12=3*20, 6*11=2*33, 7*10=2*35 ja 8*9=3*24.
Ainoa vaihtoehto ehdot täyttäväksi lukupariksi on (4,13). Mikäli parin (4,13) tulosta ei voi muodostaa toista joukkoon A kuuluvaa summaa, on se tehtävän ratkaisu. Näin on, sillä 4*13=2*2*13. Ainoa muu vaihtoehto lukupariksi on (2,26) ja se ei kuulu A:han.