Epäintuitiivinen totuus – kun arkijärkemme pettää

[BigRedCat]

Jokin tämänsuuntainen ketju on kummitellut mielessäni jo tovin. Matemaatikko Stanislaw Ulam aikanaan kysyi (matemaattisen) taloustieteen pioneerilta Paul Samuelsonilta pystyykö tämä nimeämään yhtäkään sosiaalitieteiden tulosta, joka olisi sekä tosi että epätriviaali. Ei kovin yksinkertainen tehtävä. Samuelsonin kerrotaan vastanneen (vuosia myöhemmin) suhteellisen edun periaatteella, joka kieltämättä on intuitiiviseen absoluuttisen edun periaatteeseen nähden epäintuitiivinen: Suhteellinen etu – Wikipedia

Suhteellisen edun periaatteen tiivistelmä Wikipediasta:

Tunneitumman version teoriasta esitti kuitenkin David Ricardo, joka kuvaili käsitteen vuonna 1817 käyttäen esimerkkinä Englannin ja Portugalin välistä viini- ja tekstiilikauppaa. Ricardo totesi, että Portugalissa on mahdollista tuottaa sekä viiniä että tekstiileitä vähemmällä työllä kuin Englannissa. Viinin ja tekstiilien tuottamiseen vaadittava suhteellinen työmäärä on kuitenkin erilainen näissä kahdessa maassa. Portugalissa sekä viinin että tekstiilien tuottaminen on helppoa ja halpaa, mutta Englannissa viinin tuottaminen on erittäin vaikeaa kun taas tekstiilien tuottaminen on merkittävästi viinin tuottamista helpompaa. Vaikka Portugalissa onkin halvempaa tuottaa tekstiilejä kuin Englannissa, on Portugalin kannalta vielä halvempaa tuottaa ylimääräistä viiniä ja vaihtaa tämä ylimääräinen viini englantilaisiin tekstiileihin. Vastaavasti Englanti hyötyy tästä kaupanteosta, koska se saa viiniä halvemmalla suhteessa tekstiileihin kuin tuottamalla itse oman viininsä.[2]

Luonnontieteet ja matematiikka ovat täynnä tosia mutta epäintuitiivisia tuloksia. Tämän ketjun tarkoitus on tuoda esille ja keskustella maailmamme ominaisuuksista ja tieteen sekä ajattelun tuloksista, jotka ovat suurelle osalle meistä epäintuitiivisia ja kenties jopa ristiriidassa sen kanssa mitä arkijärjellä ajatellen uskomme todeksi. Erityisvaatimuksena on, että tulosten on oltava tosia.

Heitän itse muutaman: Kokemuksemme vastaa melko hyvin klassista fysiikkaa. Maailma vaikuttaa kellokoneiston tavoin deterministisesti raksuttavalta systeemiltä jossa on pohjimmillaan kyse syistä ja seurauksista. Kuitenkin kvanttifysiikka opettaa meille, että kenties kaikkein fundamentaalisimmalla tasolla menetämme syyn ja seurauksen ja maailma onkin probabilistinen.

Matematiikasta voisi heittää lukemattomia esimerkkejä mutta aloitetaan sellaisella joka on selkeä ymmärtää jo lukiomatematiikalla: Harmoninen sarja ei suppene vaan hajaantuu. Ts. kun lasketaan yhteen termejä 1/k jossa k on luonnollinen luku eli juoksee ykkösestä äärettömyyteen, ei lähestytä mitään lukua. Sarjan k:s osasumma on siis muotoa

1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/k.

Ottaen huomioon, että lisäämme aina vain pienemmän ja pienemmän luvun termin 1/k lähestyessä nollaa, voisi minusta sarjan hyvinkin ajatella suppenevan. Näin ei kuitenkaan ole. Sen sijaan jos korotamme nimittäjän toiseen potenssiin, sarja suppeneekin. Myös vuorotteleva harmoninen sarja, eli harmoninen sarja jonka etumerkki vaihtuu jokaisen termin jälkeen, suppenee.


Toisena esimerkkinä mainittakoon eri kokoiset äärettömyydet. Reaalilukujen äärettömyys on "suurempi" kuin rationaali- tai kokonaislukujen äärettömyys, jälkimmäisten kuitenkin ollessa keskenään yhtä suuria.


Toivotan ketjuun tervetulleeksi myös vastakkaisen ilmiön: "Itsestäänselvät" tulokset jotka ovat epätosia.

 

[Hiker]

Aiheesta kiinnostuneiden kannattaa lukea Daniel Kahnemanin kirja Ajattelu, nopeasti ja hitaasti. Kirja käsittelee intuitiivista ja rationaalista ajattelua, joita Kahneman kuvaa rinnakkaisia järjestelmäksi, jotka kytkeytyvät päälle eri tilanteissa ja joista edellinen aiheuttaa täysin absurdeja ajattelun vinoutumia. Teos on täyttä rautaa ja tekijänsä on kokeellisen psykologian kärkinimiä koko maailmassa.

 

[redlate]

Toisena esimerkkinä mainittakoon eri kokoiset äärettömyydet. Reaalilukujen äärettömyys on "suurempi" kuin rationaali- tai kokonaislukujen äärettömyys, jälkimmäisten kuitenkin ollessa keskenään yhtä suuria.

Äärettömyydet eivät tosiaan millään lailla taitu arkijärjellä. Otetaan vaikka luonolliset luvut 1,2,3,...,k,... . Rinnalle vaikka parilliset 2,4,6,...2k,..... Voisi ajatella, että lukuja 1,2,3,... on enemmän kuin parillisia jo siitä syystä, että parilliset luvut ovat em. osajoukko. Jos luonnolliset luvut ja parilliset luvut kuitenkin asetetaan pareittain (1,2), (2,4), (3,6),....(k,2k),... huomataan, että perskeles, niitähän on yhtä paljon. Asiaa paremmin tuntevat, tietävät että kuvaus k->2k on bijektio ja näin ollen joukon yhtä mahtavia.
Saman voi tehdä parittomlle luvuille: k->2k-1. Itseasiassa mille tahansa monikerralle. Ei mahdu arkijärkeen tämä.
Tai, että mikä tahansa reaaliväli on yhtä mahtava minkä tahansa toisen reaalivälin kanssa. Esim [0,1] on yhtä mahtava kuin [10,100].
Äärettömyys on hieno asia.

 

[El Gordo]

Niin ja mikä tahansa luku potenssiin nolla on muka yksi (paitsi nolla potenssiin nolla oli jotenkin määrittelemätön). En tajuu.

 

[Shardik]

Hypätäänpä lukujumpasta fysikaalisiin ilmiöihin. Intuitio sanoo, että viileä vesi jäätyy nopeammin kuin kuuma vesi, jos niitä laitetaan sama määrä samaan lämpötilaan samanlaisissa astioissa. Näin ei kuitenkaan aina ole, vaan ainakin tietyissä olosuhteissa kuuma vesi jäätyy ensin. Ilmiötä kutsutaan Mpemban ilmiöksi.

Mpemba effect - Wikipedia

 

[Jymäkkä]

Tuo harmonisen sarjan hajaantuminen kohti ääretöntä on kyllä hämmentävä, varsinkin kun ne yhteenlaskettavat pienenee melko nopeasti. Integraalilaskennan avulla tuolle saa varsin havainnollisen todistuksen.

@El Gordo : Tuo nollas potenssi on enemmän laskutekninen sopimus, kuin matemaattinen ihme. Esimerkiksi x^5 /x^5 on tietenkin 1, ja kun tuo johtaa samankantaisten potenssien osamäärä-sääntöä käyttäen tulokseen x^0, niin on sovittu että tulos on 1. Potenssin määritelmän mukaanhan nollas potenssi on "tyhjä".

 

[mjr]

Erinomainen avaus! Itselleni kvanttimekaniikka on käytännössä mahdotonta sisäistää arkiajattelun ja arkikielen piiriin. Osin tämä toki on tavallaan harhaa siinä mielessä, että newtonilainen ja kartesiolainen maailmankuvamme lähes pakosta johtaa siihen, etteivät modernin fysiikan etabloimat totuudet voi loogisestikaan mahtua tuohon kontekstiin. Kielemme ja ajattelumme on mekanistista, mutta maailmankaikkeus ei sitä ole.

 

[mjr]

Ja tässä sitten huomattavan epäintuitiivinen todennäköisyyslaskentaan perustuva totuus: Monty Hallin ongelma – Wikipedia

 

[Jymäkkä]

Ja tässä sitten huomattavan epäintuitiivinen todennäköisyyslaskentaan perustuva totuus: Monty Hallin ongelma – Wikipedia

Tässähän on sekin, että voisi intuitiolla päätellä, että väärän oven avaamisen jälkeen jäljellä on kaksi ovea, eli että vaihtamalla ovea voiton tn olisi vain 1/2.

 

[dana77]

Kun sijoittaja hyödyntää sijoituskuorta, arvoa kasvattavaa rahastoa tms sijoitusinstrumentteja, eikä maksa voitoistaan veroa vuosittain niin kun omistus lopuksi myydään ja maksetaan verot niin valtiokin pääsee hyötymään korkoa korolle -ilmiöstä jonka seurauksena valtio saa enemmän verotuloja.

 

[hablaa]

Juuri arkijärjen vastaista (ja myös arkijärjen siinä mielessä, että ongelman voi ymmärtää kuka hyvänsä ilman sen kummempia tieteellisiä opintoja) itselle ainakin on syntymäpäiväongelma. Yleensähän tuntuu olevan kovinkin harvinaista, että satunnaiseen ihmisjoukkoon kuuluu kaksi ihmistä, joilla on sama syntymäpäivä. Kuitenkin 50% todennäköisyys tuolle saavutetaan jos ihmisiä on 23, ja 99,9% todennäköisyys jos ihmisiä on 70. Tuntuu erittäin epäintuitiiviselta, mutta numerot ei valehtele jos tuota käy laskemaan.

(Tämä toki olettaen, että ihmisten syntymäpäivät jakautuvat tasaisesti pitkin vuotta, näin ei Suomessa ainakaan ole. Mutta siis teorian tasolla. Ja linkki suomalaiseen Wikipediaan, englanninkielinen versio tarjoaa paljon pidemmän kuvauksen aiheesta.)

 

[Vercetti]

Aiheesta kiinnostuneiden kannattaa lukea Daniel Kahnemanin kirja Ajattelu, nopeasti ja hitaasti. Kirja käsittelee intuitiivista ja rationaalista ajattelua, joita Kahneman kuvaa rinnakkaisia järjestelmäksi, jotka kytkeytyvät päälle eri tilanteissa ja joista edellinen aiheuttaa täysin absurdeja ajattelun vinoutumia. Teos on täyttä rautaa ja tekijänsä on kokeellisen psykologian kärkinimiä koko maailmassa.

Yhdyn Kahnemanin kirjan suosittelijoiden joukkoon. Kohtalaisella sattumalla tietenkin, sillä juuri eilen sain teoksen viimein luettua loppuun. Kirja on todellakin täyttä rautaa, ja Kahneman on tehnyt erinomaista työtä aiheen selittämiseksi kansantajuisesti ja erinomaisten esimerkkien avulla.

Koska kyse on ajattelun vinoutumista, pätee aihe miltei kaikkeen ihmisen käyttäytymiseen ja kaikkiin elämänalueisiin. Valaisevia esimerkkejä on kirjassa laidasta laitaan. Tuleville lukijoille mainittakoon, että esimerkkien aiheet liittyvät muun muassa arkipäiväisiin päätöksentekotilanteisiin, yritysjohtamiseen, sijoittamiseen, rahapeleihin ja matemaattisiin pulmiin.

 

[finnjewel]

Tässähän on sekin, että voisi intuitiolla päätellä, että väärän oven avaamisen jälkeen jäljellä on kaksi ovea, eli että vaihtamalla ovea voiton tn olisi vain 1/2.

Jos tällainen arvausleikki järjestettäisiin itäisessä naapurimaassamme, niin kilpailijan valitseman oven takana olisi 100 % varmasti aina vuohi.

 

[ernestipotsi]

Tuo harmonisen sarjan hajaantuminen kohti ääretöntä on kyllä hämmentävä, varsinkin kun ne yhteenlaskettavat pienenee melko nopeasti. Integraalilaskennan avulla tuolle saa varsin havainnollisen todistuksen.

@El Gordo : Tuo nollas potenssi on enemmän laskutekninen sopimus, kuin matemaattinen ihme. Esimerkiksi x^5 /x^5 on tietenkin 1, ja kun tuo johtaa samankantaisten potenssien osamäärä-sääntöä käyttäen tulokseen x^0, niin on sovittu että tulos on 1. Potenssin määritelmän mukaanhan nollas potenssi on "tyhjä".

Nollannen potenssin voi myös sisäistää arkijärkellä helpommin kun:
3 potenssiin mikä tahansa ykköstä isompi luku on isompi kuin 3
3 potenssiin mikä tahansa ykköstä pienempi positiivinen luku on välillä 3 ja 1.
3 potenssiin mikä tahansa negatiivinen luku on pienempi kuin yksi ja enemmän kuin nolla

Tällöin kun nollapotenssia lähestytään niin päädytään kohti ykköstä.

 

[arvee]

Mainio ketjunavaus.
Sarjaoppikin oli aikoinaan kurssi, joka jäi suorittamatta, syytän hieman erästä professoria matematiikka innostukseni kuolettamisesta. Toki nuoruus, akateeminen vapaus ja naiskaipaus olivat varmaan merkittävämpiä syitä. Toisaalta Simo Kivelä onnistui minut matriisilaskua jonkin verran oppimaan, proffien persoonalla on vaikutusta, väitän mä. Ehkä olisi pitänyt hankkia jenkkien matematiikkakirjoja, ei käyttää näitä Rikkosien kuivia vääntöjä...
Mutta juu, nyt vasta näiden muutamien esimerkkien innostamana aloin miettiä sarjakehitelmiä ja luonnollisia lukujakin pitkästä aikaa, jännää seurata kauanko jaksan funtsia.

@Shardik in julkituoma Mpemba-ilmiö oli minulle uusi jänskyys. Mietin siitä jo jotain yhteiskunta-johdannaista, mutta kuumimpien yksilöiden äkillistä viilentymistä en vielä ole keksinyt.

Tnx @Hiker ille tuosta Kahnemanin opuksen suosittelusta, kirjoitin paperille muistiin, ehkä jopa kaupunginkirjastostamme löytyy hyllystä.

 

[arvee]

Kun sijoittaja hyödyntää sijoituskuorta, arvoa kasvattavaa rahastoa tms sijoitusinstrumentteja, eikä maksa voitoistaan veroa vuosittain niin kun omistus lopuksi myydään ja maksetaan verot niin valtiokin pääsee hyötymään korkoa korolle -ilmiöstä jonka seurauksena valtio saa enemmän verotuloja.

Tämä on liian vaikeaa tajuttavaa, markkinoitavaa äänestäjäkunnalle. Liian monta vuotta etiäpäin suuntautuva odotus, edustaja haluaa äänen nyt vaaleissa, äänestäjä haluaa edustajan tuovan lisää onnellisuutta oitis vaalien jälkeen. Arkijärki ja politiikka ovat eriytyneet luultavasti jo seiskytluvulla. Tai ainakin suhteellisuuden taju alkoi mennä jo tuolloin, nykyään politiikka on populismia, kärjitetysti luvataan elämästä sirkushuvittelua kaikille aina ja iankaiken. Heti. Vaalien jälkeen ainakin.

 

[dana77]

Tämä on liian vaikeaa tajuttavaa, markkinoitavaa äänestäjäkunnalle. Liian monta vuotta etiäpäin suuntautuva odotus, edustaja haluaa äänen nyt vaaleissa, äänestäjä haluaa edustajan tuovan lisää onnellisuutta oitis vaalien jälkeen.

Tokihan tuota laskelmaa kohtaan voi esittää kritiikkiä, että JOS valtio sijoittaisi ne verottomansa rahat järkevästi, niin silloin heidän kannaltaan olisi järkevämpää verottaa voitot joka vuosi. Kuitenkaan käytännössä valtio ei niin tee, vaan sitävarten demarit ovat keksineet termin jakovara.

 

[Sistis]

Itse muistelen kuulleeni joskus opiskeluaikojen hämärissä eräällä kurssilla ihmisen kuuloon liittyvän erikoisen väitteen. Asiasta oli ihan maininta kurssimonisteessakin, muttei lähdettä varsinaisiin tutkimuksiin, eli lähdekritiikki pitää muistaa.

Väite liittyi siihen, että kun ihminen kuulee jotain tietyn taajuista ääntä hetken aikaa, äänen sammuttua kuulo olisi lyhyen hetken joko herkistynyt tai lievästi heikentynyt (en muista enää, kumpi) tuolla taajuudella, sekä pienellä taajuuskaistalla sen ympärillä. Tämä on sinänsä vielä loogista. Kiintoisaa oli, että tutkimuksissa olisi havaittu samanlainen ilmiö myös symmetrisesti juuri ennen kuin tuo ääni kuullaan. Korva siis ikään kuin tietäisi etukäteen kuulemansa äänen.

Voi olla, että tämä tutkimus on jo sittemmin todettu virheelliseksi. Omat opintoni eivät juurikaan liittyneet enempää tuohon aihealueeseen.

 

[mjr]

Itse muistelen kuulleeni joskus opiskeluaikojen hämärissä eräällä kurssilla ihmisen kuuloon liittyvän erikoisen väitteen. Asiasta oli ihan maininta kurssimonisteessakin, muttei lähdettä varsinaisiin tutkimuksiin, eli lähdekritiikki pitää muistaa.

Tuohon liittyen niin on kai ihan tutkitustikin niin että reaalinen näkökenttämme on paljon pienempi kuin vaikutelmamme siitä, koska aivot täydentävät kokonaisuuden. Aika outo juttu kun sitä vähän ajattelee.

 

[Harri2001]

Jos äärettömyysmatematiikka on epäintuitiivista, niin ei välttämättä arkisetkaan lukemat ole niitä helpoimpia sisäistää. Otetaan esimerkiksi lukema miljoona. Tuo on vielä helppoa konkertisoida: miljoona millimetriä on yksi kilometri. Sekä milli että kilometri ovat tajuttavissa. Tai toinen esimerkki: senttimetrin korkeita, leveitä ja syviä noppakuutioita mahtuu miljoona yhteen kuutiometriin. Vielä tajuttavissa.

Entä sitten miljardi? Millejä tuhannessa kilometrissä. Tai kilometrin pitkä jono kuutiometrejä, jotka ovat rakennettu senttisistä "nopista".

Applen arvo on biljoona dollaria, joka on siis vielä tuhat kertaa miljardi.

Ja katsotaan ne atomitason luvut joskus toisten.

 

[Tarinankertoja]

Kun sijoittaja hyödyntää sijoituskuorta, arvoa kasvattavaa rahastoa tms sijoitusinstrumentteja, eikä maksa voitoistaan veroa vuosittain niin kun omistus lopuksi myydään ja maksetaan verot niin valtiokin pääsee hyötymään korkoa korolle -ilmiöstä jonka seurauksena valtio saa enemmän verotuloja.

Täähän ei oikeastaan kuulu tän ketjun aihepiiriin, mutta olkoon OT:ta tän verran, että…

... tuo sisältää muuttujia, joita pitäisi tossa ottaa huomioon, kuten pääomaverotuksen muutokset (muutettu tässä mennä vuosina usein, ja laskevasti) ja muut poliittiset päätökset verotuksesta.

Myös yritysten maksumuutoksista sekä osakearvojen heilahtelu vaikuttaa tohon (pääoma voi myös pienetä).

Eli ei todellakaan ole yksiselitteistä se, että valtioKIN hyötysi korkoa korolle mekanismista verotuksensa suhteen.

Mutta toi ei siis ole ketjun aiheenmukainen epäintuitiivinen asia mitenkään.

 

[Tarinankertoja]

Itselleni kvanttimekaniikka on käytännössä mahdotonta sisäistää arkiajattelun ja arkikielen piiriin.

Oletko lukenut Feynmanin QED:n?


Siinähän n 150 sivussa kerrotaan kvanttimekaniikan ihmeellisyyksiä alkane klassisen fysiikan valon taittumisen ja kvanttisppinnin samankaltaisuudesta. Sen jälkeen se menee vähän syvemmälle, mutta ilman matematiikka, yksinkertasilla havainne kuvilla ja teksteillä. Ei, ei sen kanssa koko kvanttimaailmaa käsitä, mutta ton lukemisen jälkeen sen vertautumisesta klassiseen fysiikkaan on jonkinnäköinen ymmärrys. Suosittelen kyllä.

 

[jussi_j]

Matemaatikko Ramanurjan kehitteli todistuksen, jonka mukaan kaikkien positiivisten kokonaislukujen summa on -1/12. YouTubesta löytyy paljonkin videoita aiheesta. Sitä sopii hetki pohtia.

 

[Satunnainen]

Matemaatikko Ramanurjan kehitteli todistuksen, jonka mukaan kaikkien positiivisten kokonaislukujen summa on -1/12. YouTubesta löytyy paljonkin videoita aiheesta. Sitä sopii hetki pohtia.

Vielä mielenkiintoisempaa on mielestäni se, että eräät fysiikan haarat käyttävät tuota arvoa ko. summalle, ja se toimii. Ja fysiikassahan on tarkoitus kuvata ympäröivää todellisuuttamme.

 

[BlackWolf]

Tokihan tuota laskelmaa kohtaan voi esittää kritiikkiä, että JOS valtio sijoittaisi ne verottomansa rahat järkevästi, niin silloin heidän kannaltaan olisi järkevämpää verottaa voitot joka vuosi. Kuitenkaan käytännössä valtio ei niin tee, vaan sitävarten demarit ovat keksineet termin jakovara.

Vain jos se sijoittaja sijoittaa järkevästi. Valtio myös nimittäin kärsii tuplana ne mahdolliset tappiot. Kerran menetettyinä veroina ja toisen kerran kun tappiot on vähennyskelpoisia. Lisäksi sen sijoittajan pitäisi voittaa inflaatio. Kyllä se raha valtiollekkin on tänään arvokkaampaa kuin huomenna.