Matematiikkapähkinät

[TomiP]

Ihan mielenkiinnosta kysyn, että mihin näitä kaavoja/todistuksi jne. jne. käytetään?

Moniinkin asioihin. Esim. tuo edellinen lause on tärkeä. Se kertoo, että reaaliarvoinen jatkuva funktio saa suljetulla välillä suurimman ja pienimmän arvonsa. Monet reaalimaailman ongelmat pelkistyvät maksimin tai minimin etsimiseen.

 

[Sekera]

Paljonko saa pisteitä, jos osaa kääntää matriisin? ks. liite.

 

[Klose16]

Saat minulta pisteen, matriiseja oli hauska pyöritellä. Jos olisin Presidentti, lisäisin matriisilaskun pakollisena peruskouluun.

 

[TomiP]

Paljonko saa pisteitä, jos osaa kääntää matriisin? ks. liite.

Ei sua pisteitä lainkaan.

 

[Sekera]

Kannattako vinohermiittistä matriisia kääntää? Vai tippuuko se itsestään kyljelleen? Kummalle kyljelle se on helpompi kääntää, jos on ihan pakko kääntää?

 

[kahden suunnan sentteri]

Ai matriisii-ii-ii-ii-ii-ii vai? Kuule Valde, eihän tääl mitään matriisii-ii-ii oo näkyynt.
- Juuei myö mittää matriisii olt käännettynt, nääthää sie!

 

[TomiP]

Seuraava avoin pähkinä oli:
Osoita, että jos kuvaus f:R--> R on jatkuva injektio, niin se on avoin kuvaus (eli kuvaa avoimet joukot avoimeksi).

Määrittelen injektion. Injektio kuvaa kullekin arvolleen vain yhden pisteen. Eli yhtälön f(x)=f(y) ainoa ratkaisu on x=y. Suurin osa kuvauksista ei ole injektio. Esim. kuvaus f:R-->R: f(x)=x on injektio, mutta kuvaus g:R-->R: g(x)=x^2 ei ole.

Spoileri: Todistus

Reaaliakselin jatkuva injektio on joko aidosti kasvava eli f(x)>f(y), jos x>y tai aidosti vähenevä eli f(x)<f(y), jos x>y.
Voidaan olettaa, että se on kasvava (vähenevä tapaus menee samoin). Olkoot V avoin joukko reaaliakselilla, tällöin se on unioni avoimista väleistä (osoita itsellesi) eli V=U_b ]x_b,y_b[ (b on joku indeksijoukko). Nyt f(V)=U_b f(]x_b,y_b[). Eli riittää osoittaa, että avoin väli kuvautuu avoimeksi väliksi. Jatkuva kuvaus kuvaa yhtenäiset joukot yhtenäisiksi. Avoin väli on yhtenäinen, joten joukko f(]x_b,y_b[) on yhtenäinen. Reaaliakselin yhtenäiset joukot ovat välejä, joten joukko f(]x_b,y_b[) on väli. Olkoot y joukossa f(]x_b,y_b[), on olemassa x_0 joukossa ]x_b,y_b[ siten, että f(x_0)=y. On a>0 siten, että avoin väli ]x_0-a,x_0+a[ on välin ]x_b,y_b[ osajoukko. Nyt on olemassa y_0<x_0<z_0 siten, että y_0 ja z_0 kuuluvat väliin ]x_0-a,x_0+a[. Nyt f(y_0)<f(x_0)=y<f(z_0) valitaan epsilon=0.5*min(f(x_0)-f(y_0), f(z_0)-f(x_0)]. Nyt avoin väli ]y-epsilon, y+epsilon[ kuuluu joukkoon f(]x_b,y_b[), joten joukko f(]x_b,y_b[) on avoin. Siispä väite on todistettu.

 

[MustatKortit]

Eikö tähän ketjuun kannattaisi linkittää matikkaneroille noita tehtäviä tuolta Voittopotti-ohjelmasta? Rikastuisitte ratkaisulla.

 

[mjr]

Min'en häpeä tunnustaa, että mielestäni matemaattiset kyvyt aika tarkasti heijastavat henkilön älykkyyttä. Notta TomiP:tä irvailevat kommentoijat saattavat tuntea tiettyä penis-kateutta... Mutta samalla täytyy sanoa, että onhan matematiikka aika esoteeristä ja kaikesta inhimillisestä toiminnasta etäällä olevaa, notta sen taitaminen ei välttämättä sitten korreloi sanoisiko maallisen menestyksen kanssa. Mutta ehkä pitäisi kaivaa jostain esille se ammoinen matematiikka-ketju, jossa aihepiiristä keskusteltiin sangen mielenkiintoisesti.

 

[Hauptmann]

Eikö tähän ketjuun kannattaisi linkittää matikkaneroille noita tehtäviä tuolta Voittopotti-ohjelmasta? Rikastuisitte ratkaisulla.

Tuonne voi ehdottaa omia pähkinöitä: http://keskustelu.jatkoaika.com/threads/matematiikkapähkinät-2-–-omat-pähkinät.61733/ (linkki tänne foorumille)

Laittakaa sinne vaan niitä Voittopotti-kysymyksiä, niin ehkä palstan matematiikan tohtorit saavat ne ratkottua. Tosin tuossa ketjussa kysyjän pitäisi itse tietää vastaus, mutta ehkä siitä voidaan joustaa.

 

[kahden suunnan sentteri]

Min'en häpeä tunnustaa, että mielestäni matemaattiset kyvyt aika tarkasti heijastavat henkilön älykkyyttä. Notta TomiP:tä irvailevat kommentoijat saattavat tuntea tiettyä penis-kateutta...

Juuri näin. Kun on tottunut menestyksekkäästi besserwisseröimään aiheesta kun aiheesta viimeistään kolmen minuutin googletuksella, niin ärsyttäähän se sitten kun joku brassaileekin aiheella josta päsmäröintiin juuri about kenelläkään ei ole kykyä. Kyllä Tomi P peniksineen voidaan nyt tämän ketjun myötä kruunata kiistatta jatkoajan älykuninkaaksi.

Menenkin tästä itkemään itseni uneen.

 

[TomiP]

Hei, ei pidä olla noin tosikko. Ja vastaus on 2. Perustelutkin löytyy.

Kyllä vastaus on nolla.

 

[TomiP]

Viimeisin pähkinäni äärellisistä ja äärettömistä joukoista on hyvin todennäköisesti virheellinen. Tajusin juuri, että äärettömistä joukoista voidaan poistaa ääretön joukko ja silti jäljelle jäävä joukko on ääretön.

Ko. tehtävässä on ilmeistä, että äärettömiä joukkoja on "enemmän" kuin äärellisiä,
Siispä tehtävää ei tule ratkaisua, koska tehtävä on virheellinen.

 

[TomiP]

Uusi pähkinä:
Osoita, että avoin yksikköpallo B^N(0,1) on topologisesti ekvivalentti R^N:n kanssa. Eli tehtäväsi on löytää jatkuva bijektio f:B^N(0,1)-->R^N. Merkintä B^N(0,1) tarkoittaa avointa N-palloa, yhdessä ulottuvuudessa se on avoin väli ]-1,1[, kahdessa ulottuvuudessa se on yksisäteinen avoin kiekko, kolmessa ulottuvuudessa yksisäteinen pallo jne.

Bijektion määritelmä:
Kuvaus f:A-->B on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio.
Injektio tarkoittaa sitä, että kuhunkin maalijoukon f(A) (on maaliavaruuden B osajoukko) pisteeseen y liittyy yksikäsitteisesti lähtöavaruuden piste x siten, että f(x)=y. Toisin sanoen yhtälön f(x)=f(y) ainoa ratkaisu on x=y.
Surjektio taas tarkoittaa seuraavaa f(A)=B, eli maalijoukko on koko maaliavaruus. Eli jokaiseen pisteeseen y B:ssä liittyy avaruuden A piste x siten, että f(x)=y.

Vaadin osoituksessa, kuvauksen lisäksi osoituksen kuvauksen bijektiivisyydestä ja jatkuvuudesta. Jatkuvuus on tärkeää, sillä jatkuvat kuvaukset säilyttävät topologiset ominaisuudet. Jatḱuvia bijektioita kutsutaan homeomorfisiksi kuvauksiksi ja joukkoja joiden välillä on jatkuva bijektio kutsutaan keskenään homeomorfisiksi.

 

[TomiP]

Näköjään viimeisin pähkinä ei ole ratkennut.
Se oli:
Osoita, että avoin yksikköpallo B^N(0,1) on topologisesti ekvivalentti R^N:n kanssa. Eli tehtäväsi on löytää jatkuva bijektio f:B^N(0,1)-->R^N.

Spoileri: Todistus

Vaadittu kuvaus on: f:B^N(0,1)-->R^N, f(x)=x/(1- ||x||), missä ||x||=sqrt(x_1^2+...+x_N^2) normi (vektori x=(x_1,...,x_N)).
1. Kuvaus on injektio:
f(x)=f(y) <--> x/(1-||x||)=y/(1-||y||). Koska f(x)=f(y), niin ||f(x)||=||f(y)|| (käänteinen ei päde), siispä ||x||/(1-||x||)=||y||/(1-||y||) -->
||x||-||x||*||y||=||y||-||x||*||y|| --> ||y||=||x||. Siispä f(x)=f(y) --> x/(1-||x||)=y/(1-||x||) --> x=y, joten f on injektio.
2. Kuvaus on surjektio. Olkoot y piste R^N:ssä. Nyt täytyy löytää piste x yksikköpallosta B^N(0,1) siten, että f(x)=y.
f(x)=y <--> x/(1-||x||)=y --> ||x||/(1-||x||)=||y|| --> ||x||*(1+||y||)=||y|| --> ||x||=||y||/(1+||y||) (joka on yksikköpallossa).
Tästä seuraa x(1+||y||)=y--> x=y/(1+||y||), joka on yksikköpallossa, siispä kuvaus on surjektio.
Joten kuvaus on bijektio.
Kuvaus g:B^N(0,1)-->R^N: g(x)=x on jatkuva identtisenä kuvauksena. Samoin on kuvaus h:B^N(0,1)-->R, h(x)=1/(1-||x||) jatkuva (harjoitustehtävä). Joten f(x)=g(x)*h(x) on jatkuva.

 

[TomiP]

Uusi pähkinä: Todista, että yhtenäisyys on topologinen ominaisuus. Eli toisin sanoen, että yhtenäisen joukon kuvajoukko jatkuvassa kuvauksessa on yhtenäinen.

Määrittelen yhtenäisyyden. Yhtenäisyys määritellään epäyhtenäisyyden loogisena negaationa eli määrittelen epäyhtenäisyyden.
Joukko A on epäyhtenäinen, jos on olemassa avoimet ja epätyhjät U ja V siten, että A on U:n ja V:n yhdisteen osajoukko ja A:n, V:v ja U:n yhteinen leikkaus on tyhjä joukko. Yhtenäinen joukko on joukko, joka ei ole epäyhtenäinen eli, jos tällaisia avoimia U:ta ja V:tä ei löydy.

 

[TomiP]

Jaa, yllätys yllätys tähänkään pähkinään ei tullut ratkaisua.
Pähkinä oli siis: Todista, että yhtenäisyys on topologinen ominaisuus. Eli toisin sanoen, että yhtenäisen joukon kuvajoukko jatkuvassa kuvauksessa on yhtenäinen.

Spoileri: Todistus

Olkoot f:X-->Y jatkuva kuvaus ja A X:n yhtenäinen osajoukko. Nyt väitteen mukaan B=f(A) on Y:n yhtenäinen osajoukko.
Tehdään antiteesi, B on epäyhtenäinen. Tällöin löytyvät avoimet ja epätyhjät Y:n osajoukot U ja V siten. että B on U:n ja V:n yhdisteen osajoukko (U ja V peittävät B:n) ja U:n, V:n ja B:n leikkaus on tyhjä joukko.
Koska f on jatkuva, V'=f^-1(V) ja U'=f^-1(U) ovat avoimia, ja peittävät A:n. A:n, U':n ja V':n leikkaus on tyhjä joukko (sillä tyhjän joukon alkukuva on tyhjä joukko). Siispä A olisikin epäyhtenäinen. Tämä on ristiriita A:n yhtenäisyysoletuksen kanssa, joten antiteesi on epätosi ja väite on totta.

 

[TomiP]

Osoita, että jos kompleksifunktio f(z)=u(x,y)+i*v(x,y) (z=x+i*y) on derivoituva pisteessä z_0=x_0+i*y_0, niin se toteuttaa Cauchyn-Riemannin yhtälöt
(1) u_x(z_0)=v_y(z_0)
(2) u_y(z_0)=-v_y(z_0)

Tässä u_x(z) tarkoittaa u:n osittaisderivaattaa x-akselin suuntaan pisteessä z, v_y(z) taas v:n osittaisderivaattaa y-akselin suuntaan pisteessä z jne.

Kompleksifunktion derivaatta määritellään aivan samoin kuin reaalifunktion derivaatta erotusosamäärän raja-arvona.

 

[TomiP]

Korjaus edelliseen pähkinään. Siinä on näppäilyvirhe. Oikeat Cauchyn-Riemannin yhtälöt ovat
(1) u_x(z_0)=v_y(z_0)
(2) u_y(z_0)=-v_x(z_0)

 

[redlate]

Osoita, että jos kompleksifunktio f(z)=u(x,y)+i*v(x,y) (z=x+i*y) on derivoituva pisteessä z_0=x_0+i*y_0, niin se toteuttaa Cauchyn-Riemannin yhtälöt
(1) u_x(z_0)=v_y(z_0)
(2) u_y(z_0)=-v_y(z_0)

Tässä u_x(z) tarkoittaa u:n osittaisderivaattaa x-akselin suuntaan pisteessä z, v_y(z) taas v:n osittaisderivaattaa y-akselin suuntaan pisteessä z jne.

Kompleksifunktion derivaatta määritellään aivan samoin kuin reaalifunktion derivaatta erotusosamäärän raja-arvona.

df(z_0)=lim_h>0( u(x_0+h,y_0)-u(x_0,y_0)+i(v(x_0+h,y_0)-v(x_0,y_0))/h=u_x(x_0,y_0)+iv_x(x_0,y_0)
ja df(z_0)=lim_h>0(u(x_0,y_0+h)-u(x_0,y_0)+i(v(x_0,y_0+h)-v(x_0,y_0))/ih=v_y(x_0,y_0)-iu_y(x_0,y_0), koska 1/i=-i
seuraa siis halutut yhtälöt.

 

[TomiP]

df(z_0)=lim_h>0( u(x_0+h,y_0)-u(x_0,y_0)+i(v(x_0+h,y_0)-v(x_0,y_0))/h=u_x(x_0,y_0)+iv_x(x_0,y_0)
ja df(z_0)=lim_h>0(u(x_0,y_0+h)-u(x_0,y_0)+i(v(x_0,y_0+h)-v(x_0,y_0))/ih=v_y(x_0,y_0)-iu_y(x_0,y_0), koska 1/i=-i
seuraa siis halutut yhtälöt.

Oikein.

Pistetilanne:

redlate: 5
huhheijaa: 1
kartenoidi: 1

 

[TomiP]

Uusi pähkinä:
Osoita, että äärettömällä ja rajoitetulla joukolla A on ainakin yksi kasautumispiste R^N-avaruuksissa.

Rajoitettu tarkoittaa sitä, että on olemassa R>0 s.e A on suljetun pallon B[0,R] osajoukko.
Äärettömyys tarkoittaa, että joukolla A on ääretön määrä alkioita.

Määrittelen kasautumispisteen: piste x on joukon A kasautumispiste, jos kaikilla r>0 pätee, että joukon B(x,r)/{x} ja A:n leikkaus on epätyhjä. Joukko B(x,r)/{x} tarkoittaa avointa palloa B(x,r) josta on poistettu keskipiste x.

 

[redlate]

Uusi pähkinä:
Osoita, että äärettömällä ja rajoitetulla joukolla A on ainakin yksi kasautumispiste R^N-avaruuksissa.

Rajoitettu tarkoittaa sitä, että on olemassa R>0 s.e A on suljetun pallon B[0,R] osajoukko.
Äärettömyys tarkoittaa, että joukolla A on ääretön määrä alkioita.

Määrittelen kasautumispisteen: piste x on joukon A kasautumispiste, jos kaikilla r>0 pätee, että joukon B(x,r)/{x} ja A:n leikkaus on epätyhjä. Joukko B(x,r)/{x} tarkoittaa avointa palloa B(x,r) josta on poistettu keskipiste x.

Koska A on rajoitettu, niin löytyy suljettu väli [a,b], joka peittää A:n. Väli [a,b] voidaan jakaa kahteen yhtä pitkään suljettuun osaväliin, joilla on vain yksi yhteinen piste. Ainakin toisessa on ääretön määrä jäseniä. Olkoon se [a(1),b(1)]. Toistetaan edellinen ja saadaan väli [a(2),b(2)]. Jatkamalla samoin saadaan kaikille n>=0 [a(n),b(n)]. Kaikille n>0 on a(n)<a(n+1) ja a(n)<b ja b(n)>b(n+1)>a. Koska jonot ovat rajoitettuja on a(n):llä pienin yläraja a` ja b(n):llä suurin alaraja b`. Koska a(n)<b(n), niin b´<=a´eli siis a´=b`, joka on kasautumispiste.

Tämä on siis Bolzanon-Weierstrassin lause.

 

[TomiP]

Koska A on rajoitettu, niin löytyy suljettu väli [a,b], joka peittää A:n. Väli [a,b] voidaan jakaa kahteen yhtä pitkään suljettuun osaväliin, joilla on vain yksi yhteinen piste. Ainakin toisessa on ääretön määrä jäseniä. Olkoon se [a(1),b(1)]. Toistetaan edellinen ja saadaan väli [a(2),b(2)]. Jatkamalla samoin saadaan kaikille n>=0 [a(n),b(n)]. Kaikille n>0 on a(n)<a(n+1) ja a(n)<b ja b(n)>b(n+1)>a. Koska jonot ovat rajoitettuja on a(n):llä pienin yläraja a` ja b(n):llä suurin alaraja b`. Koska a(n)<b(n), niin b´<=a´eli siis a´=b`, joka on kasautumispiste.

Tämä on siis Bolzanon-Weierstrassin lause.

Melkein oikein. Unohdat, että pähkinässä oli kyse yleisestä R^N-avaruudesta ei pelkästä reaaliakselista. Muutamalla muutoksella todistuksesi menee lävitse.

 

[redlate]

Melkein oikein. Unohdat, että pähkinässä oli kyse yleisestä R^N-avaruudesta ei pelkästä reaaliakselista. Muutamalla muutoksella todistuksesi menee lävitse.

Totta. Tyylilleni uskollisesti luin alun ja laskin sitten jotain.