Matematiikkapähkinät

[Peppuli]

Osaisiko joku tässä ketjussa ihan vain auttaa, eli tuossa TV-Voittopelit ketjussa tuli esiin seuravaa "pähkinä":

X^53 / 99999899999 = 93948163601

Itsellä ei taivu, mutta löytyisikä tästä ketjusta joku X:n sieltä osaa laskea?

 

[Anssi #5]

Osaisiko joku tässä ketjussa ihan vain auttaa, eli tuossa TV-Voittopelit ketjussa tuli esiin seuravaa "pähkinä":

X^53 / 99999899999 = 93948163601

Itsellä ei taivu, mutta löytyisikä tästä ketjusta joku X:n sieltä osaa laskea?

Laskin sanoo x=9394806965189691736399^(1/53), mistä saadaan likiarvoksi x=2,59766288833

 

[MacRef]

Osaisiko joku tässä ketjussa ihan vain auttaa, eli tuossa TV-Voittopelit ketjussa tuli esiin seuravaa "pähkinä":

X^53 / 99999899999 = 93948163601

Itsellä ei taivu, mutta löytyisikä tästä ketjusta joku X:n sieltä osaa laskea?

Peppuli, tässä ketjussa ei saa esittää matemaattisia tehtäviä muut kuin ketjun ylituomari TomiP. Alla lainattuna ketjun ensimmäinen viesti, boldattuna oleellinen osa.

Tämä ketju on tarkoitettu olevan Päivä kysymys -ketju kaltainen. Esitän pähkinän (siis matematiikkaa ei laskentoa, yleensä kyse on jostain osoittamisesta tai todistamisesta), joihin saatte esittää ratkaisujanne. Ensin oikein vastannut saa pisteen. Minä olen ylituomari, toki perustellut vasta-argumentit ovat tervetulleita.

Viestissä numero 5 TomiP kertoo avanneensa toisen ketjun, johon saa esittää omia matemaattisia pähkinöitä:

Ei mitään. Voin avata toisen ketjun, jossa saatte esittää omia pähkinöitä.

Myöhemmin (14.7.) ylituomari vielä varoittaa muita sotkemasta tätä ketjua muilla kuin omilla pähkinöillään.

Ja olen aieminkin sanonut, että tässä ketjussa paskan puhuminen loppuu. Seuraavasta raportoin moderaattoreille.

Toivottavasti moderaattorit ovat kuitenkin armollisia eivätkä läväytä sinulle pitkää pelikieltoa tästä. Hymiö tähän.

 

[TomiP]

Näköjään, kun kissa on poissa hiiret hyppivät pöydälle.
Aiemmat pähkinät ovat edelleen avoimia. Kehoitan käyttämään googlea.

Uusi pähkinä.

Todista, että äärettömällä avaruudella (siis alkioita ääretön määrä) on "yhtä paljon" äärellisiä osajoukkoja kuin äärettömiä osajoukkoja.
"Yhtä paljon" tarkoittaa, että äärellisten osajoukkojen kokoelma on yhtä mahtava kuin äärettömien osajoukkojen kokoelma.

Yhtä mahtavuus tarkoittaa seuraava: Joukot A ja B ovat yhtä mahtavia, jos on injektio f(x); A->B JA injektio g(x): B ->A. Eli jos on olemassa molemmin suuntaiset injektiot. Tämä ehto pelkistyy joukkojen välisen bijektion olemassa oloksi.

Injektio ja bijektio käsitteinä löytyvät helposti googlaamalla.

 

[kahden suunnan sentteri]

Ajankohtainen nosto tähän kohtaan.

Linkki YouTube-videopalveluun:
Ketonen Ja Myllyrinne Opettaja - YouTube

 

[kalkkifredi]

Ei toimi video.

 

[Turha Kaukalo]

Siis voi vittu.

Eihän tota videoo näe.

Aina saa pettyä.

 

[Sekera]

voi ny perkele toi video ei näy

 

[TomiP]

Ajankohtainen nosto tähän kohtaan.

Edelleenkään en ole opettaja. Sitä paitsi tämä matematiikka tässä ylittää kaikki koulutasot.

 

[Eikka86]

Sitä paitsi tämä matematiikka tässä ylittää kaikki koulutasot.

Ookko ihan itte keksiny kysymykset ja vastaukset vai kertoko ufot?

 

[TomiP]

Ookko ihan itte keksiny kysymykset ja vastaukset vai kertoko ufot?

Osa on tunnettuja matematiikan teoreemoja. Osan olen keksinyt itse.

 

[Lätkäturientti]

Osa on tunnettuja matematiikan teoreemoja. Osan olen keksinyt itse.

Näin aiheesta poiketen, saanen kysyä että minkälainen koulutus herralla on ?

 

[TomiP]

Näin aiheesta poiketen, saanen kysyä että minkälainen koulutus herralla on ?

Saat kysyä toki ja kysyitkin jo, mutta en vastaa. Muuta kuin, että en ole matemaatikko.

 

[TomiP]

Vihje edelliseen pähkinään. Etsi bijektio äärellisten osajoukkojen kokoelmalta A äärettömien osajoukkojen kokoelmalle B. Huomaa, että kuvauksen alkiot ovat joukkoja. Tämä tehtävä ei ole vaikea.

Huomaa myös, että tyhjä joukko on äärellinen osajoukko (nolla alkiota), koko avaruus on itsensä ääretön osajoukko. Koko avaruus on tyhjän joukon komplementti (tämäkin on vihje).

Lisävihje: Minkälainen joukko on joukko, joka muodostetaan poistamalla koko avaruudesta äärellinen osajoukko?
Minkälainen joukko on joukko, joka muodostetaan poistamalla koko avaruudesta ääretön osajoukko?

Mieti mikä yhteys näin muodostetuilla joukoilla on.

 

[mjr]

Saat kysyä toki ja kysyitkin jo, mutta en vastaa. Muuta kuin, että en ole matemaatikko.

Vastaa ny, olisi kiinnostava tietää! Itte veikkaan notta olet tai olit fysiikan pääaineopiskelija.

 

[Runtulin]

Vastaa ny, olisi kiinnostava tietää! Itte veikkaan notta olet tai olit fysiikan pääaineopiskelija.

TomiP:hän on tohtori, kuulema joltain "vaativammalta alalta".

Veikkailisin, että kehitysmaatutkimus on lähellä tompan sydäntä. Aikamoinen pähkinä.

 

[TomiP]

Jos löytyy kiinnostusta, niin voin esittää ratkaisuja ratkaisemattomiin pähkinöihin.

Jos kiinnostaa, laita viestiä tähän ketjuun.

 

[redlate]

A

Jos löytyy kiinnostusta, niin voin esittää ratkaisuja ratkaisemattomiin pähkinöihin.

Jos kiinnostaa, laita viestiä tähän ketjuun.

Nöyrä pyyntö tähän. Laita spoiler tagin alle, niin kun taas innostun pähkäämään, niin ei heti näy valmis vastaus.

 

[TomiP]

Ensimmäinen ratkaisematon pähkinä oli: Todista, että R^N-avaruuksissa joukko K on kompakti joss (joss=jos ja vain jos) K on suljettu ja rajoitettu. Tämän todistus löytynee Wikipediastakin.

Kompakti on joukko, jonka jokaisesta avoimesta peitteestä löytyy äärellinen osapeite. Suljettu joukko on joukko, jonka komplementtijoukko on avoin (muitakin määritelmiä löytyy, suljettu joukko sisältää kaikki kasautumispisteensä). Rajoitettu joukko on, joukko jonka halkaisija i ole ääretön.

Spoileri: todistus

1. Ensin oletetaan joukko K kompaktiksi.
1.1. Osoitetaan joukko suljetuksi.
Otetaan x joukon komplementista (joukon komplementti ei ole tyhjä sillä R^N ei ole kompakti).
Muodostetaan joukon avoin peite seuraavasti: se on suljettujen pallojen B[x,1/n] komplementit, n on kokonaisluku.
Koska K kompakti, niin äärellinen määrää joukoista riittää peittämään sen. Tästä seuraa, että on n_0 s.e avoin pallo B(x, 1/n_0) kuluu K:n komplementtiin. Joten K:n komplementti on avoin, siispä K on suljettu (koska on avoimen komplementti).

1.2. Osoitetaan, että K on rajoitettu. Otetaan peitteeksi avoimet pallot B(0,n) (n on luonnollinen luku). Koska K on kompakti, äärellinen määrä joukoista riittää peittämään K:n. Tästä seuraa, että on olemassa n_0 siten, että avoin pallo B(0,n_0) peittää K:n. Siispä K on rajoitettu.

2. Oletetaan joukko K suljetuksi ja rajoitetuksi.
Väite joukko kompakti.
Antiteesi: Ei ole. Tämä tarkoittaa, että olisi avoin peite, jolla ei äärellistä osapeitettä.

Joukko K on rajoitettu --> on äärellinen M>0 siten, että suljettu joukko S_0=[-M,M]^N peittää K:n.
Antiteesin mukaan on avoin peite, jolla ei äärellistä alipeitettä.
Nyt jaetaan S_0 2^N yhtä suureen osaan (puolittamalla karteesisen tulon janat). Nyt ainakin yhden palan ja K:n leikkauksen pettämiseen tarvitaan ääretön määrä peitteen joukkoja. Valitaan tämä pala S_1:ksi. Jaetaan tämä pala samoin kuin S_0 ja valitaan taas äärettömän peitteen vaativa osa. Jatketaan tätä. Saadaan kutistuva jono suljettuja sisäkkäisiä joukkoja, jotka muodostuvat K:n ja S_n:n leikkauksista. Tämän joukkojonon halkaisija menee nollaan (johtuen S_n:n konstruktiosta). Koska jonon jäsenet ovat suljettuja ja sisäkkäisiä, niin täydellisyys aksiooman mukaan (R^N on täydellinen) löytyy niiden leikkauksesta piste x_0 (ja tämä ainoa piste).
Tämä piste kuuluu johonkin alkuperäisen avoimen peitteen joukkoon ja on siten olemassa r>0 siten, että avoin pallo B(x_0,r) kuuluu kokonaan tähän avoimeen joukkoon. Nyt tämän kutistuvan joukkojono halkaisija tulee jossain vaiheessa niin pieneksi, että pallo B(x_0,r) peittää jonon jäsenet. Siispä yksi avoimen peitteen avoin joukko peittää ne. Tämä on ristiriita konstruktion kanssa, joten antiteesi on väärä. Ei ole olemassa avointa peitettä, jolla ei ole äärellistä osapeitettä. Joten K on kompakti.

 

[TomiP]

Toinen ratkaisematon pähkinä: Todista, että Hausdorff-avaruuksissa kompakti joukko K on suljettu.
Hausdorff-avaruudessa eri pisteillä x ja y on pistevieraat ympäristöt.

Spoileri: Todistus

Otetaan piste y K:n komplementista. Nyt jokaisella K:n pisteellä x on ympäristö (siis avoin joukko johon x kuuluu) U_x siten, että y:llä on sen kanssa pistevieras ympäristö V_x. Nyt U_x:ien yhdiste muodostaa K:lle avoimen peitteen. Koska K on kompakti äärellinen määrä näistä joukoista riittää pettämään K:n. Nyt tätä äärellistä osapeitettä vastaa äärellinen kokoelma y:n ympäristöjä. Olkoot kokoelma {V_x_1, ..., V_x_n} nyt näiden joukkojen leikkaus V_y on avoin, sillä avointen joukkojen äärellinen leikkaus on aina avoin, ja on K:n komplementin osajoukko, ja kuuluu V_y:hen. Tämä proseduuri on sama kaikille K:n komplementin pisteille, joten K:n komplementti on avoin avointen joukkojen yhdisteenä.

Siispä K on suljettu avoimen komplementtina.

 

[TomiP]

Seuraava ratkeamaton pähkinä oli:
Anna esimerkki metrisestä avaruudesta, jossa kompaktit joukot ovat avoimia.
Edellisessä todistuksessa osoitettiin, että Hausdorff-avaruudessa kompaktit joukot ovat suljettuja. Metriset avaruudet ovat Hausdorff-avaruuksia. Tämä vaikuttaa ristiriidalta, muttei sitä ole sillä on olemassa joukkoja, jotka ovat sekä suljettuja että avoimia.

Spoileri: Esimerkki

Esimerkiksi kelpaa R eli reaaliakseli diskreetillä metriikalla. Diskreetti metriikka on seuraava d(x,y)=0, jos x=y, d(x,y)=1 muulloin.
Tässä avaruudessa jokainen joukko on sekä suljettu että avoin (ja myös rajoitettu). Tässä avaruudessa kompakteja joukkoja ovat äärelliset joukot (eli joukot, joissa äärellinen määrä alkioita).

 

[TomiP]

Seuraava ratkeamaton pähkinä oli:
Anna esimerkki topologisesta avaruudesta, jossa kompaktit joukot eivät ole suljettuja.

Tämä ei voi siis olla Hausdorff-avaruus, jossa kompaktit joukot ovat suljettuja, eikä siten myöskään mikään metrinen avaruus.
Kyseessä täytyy olla joku annetun topologian omaava avaruus. Topologia tarkoittaa avaruuden avointen joukkojen kokoelmaa. Metrisissä avaruuksissa sen määrittelee metriikka.

Määrittelen topologian T avaruudessa X.

1) tyhjä joukko kuuluu T:hen
2) X kuuluu T:hen
3) jos joukot A_b (b on indeksijoukko) kuuluu T:hen, niin kaikkien joukkojen A_b yhdiste kuuluu T:hen.
4) Jos joukot A_1, ..., A_n (n=luonnollinen luku n>=1) kuuluvat T:hen, niin joukkojen leikkaus kuuluu T:hen.

Eli toisin sanoen tyhjä joukko ja itse avaruus kuuluvat topologiaan, siihen kuuluvat myös topologiaan kuuluvien joukkojen mielivaltaiset yhdisteet (unionit) ja äärelliset leikkaukset.

Spoileri: Esimerkki

Otetaan jälleen avaruudeksi X=R eli reaaliakseli (tällä valinnalla ei suurta merkitystä). Otetaan R:lle minimitopologia eli topologia, joka sisältää vain tyhjän joukon ja itse avaruuden (tässä tapauksessa R:n). Nyt avoimia joukkoja ovat vain tyhjä joukko ja R itse, joten kaikki joukot ovat kompakteja. Näistä suljettuja on vain kaksi, tyhjä joukko ja R itse.

 

[TomiP]

Seuraava ratkeamaton pähkinä oli:
olkoot f_n(x) R^N:n positiiviarvoinen monotonisesti nouseva mitallinen funktiojono, joka suppenee (pisteittäin) f(x):ään.

Todista lim n-> ääretön int_R^N f_n(x)=int_R^N f(x).

Tämä lause tunnetaan monotonisen konvergenssin lauseena.

Spoileri: Todistus

1. lim n-> ääretön Int_R^N f_n(x)<=int_R^N f(x)
Koska jono on nouseva, pätee f_n(x)<=f_{n+1}(x) <=f(x) kaikilla x:llä.
Siispä int_R^N f_n(x)<=int_R^N f(x). Tästä seuraa väite 1. , sillä jono a_n=int_R^N f_n(x) on kasvava.
Mainitaan myös, että f(x) on mitallinen, sillä mitallisten joukkojen unioni on mitallinen.

2. int_R^N f(x)<=lim_n->ääretön int_R^N f_n(x).
Olkoon 0<a<1. Nyt olkoot u(x) joku yksinkertainen funktio (yksinkertainen funktio saa vain äärellisen monta eri arvoa), jolle pätee 0<=u(x)<=f(x) kaikilla x:llä.
Olkoot A_n joukko jossa, pätee f_n(x)>a*u(x).
Tästä seuraa b_n=a int_A_n u(x)<int_A_n f_n(x)<=int_R^N f_n(x)=c_n
Olkoot lim_n -> ääretön b_n =b ja lim_n -> ääretön c_n =c. Edellisen perusteella pätee c=>b.
Edelleen c=lim_n->ääretön int_R^N f_n(x) ja b= lim_n->ääretön a int_A_n u(x)=a*int_R^N u(x). Viimeisin yhtäsuuruus tulee
siitä, että A_n on A_{n+1} osajoukko, siitä että A_n:en unioni on R^N ja yksinkertaisen funktion integraalin ominaisuuksista.
Siispä a*int_R^N u(x)<=lim_n->ääretön int_R^N f_n(x) koska int_R^N f(x)=sup( int_R^N u(x)), missä supremum (sup) otetaan yli kaikkien yksinkertaisten funktioiden u(x)<=f(x), niin a*int_R^N f(x)<=lim_n->ääretön int_R^N f_n(x) ja koska 0<a<1 on mielivaltainen, niin tämä pätee myös rajalla a=1 eli int_R^N f(x)<=lim_n->ääretön int_R^N f_n(x).

Nyt on kumpikin epäyhtälö todistettua, joten lause todistuu.

 

[TomiP]

Jätän lottotehtävät harjoitteluksi.

Seuraava ratkeamaton pähkinä oli:
Tässä uusi pähkinä: Todista, että jatkuva kuvaus kuvaa kompaktit joukot kompakteiksi.

Määrittelen jatkuvan kuvauksen.
Kuvaus f:A-->B on jatkuva, jos avoimen alkukuva on avoin. Toisin sanoen, jos V on B:n osajoukko ja avoin, niin alkukuva f^-1(V) on myös avoin. Tällöin kuvaus on jatkuva. Tämä yhtyy metrisissä avaruuksissa tuttuun epsilon-delta-määritelmään kussakin pisteessä.

Spoileri: todistus

Olkoot f:A-->B jatkuva kuvaus ja K on kompakti A:n osajoukko. Merkitään K'=f(K) eli K:n kuvajoukko. K' on B:n osajoukko. Tarkoitus on toditaa, että K' on kompakti. Sitä varten otetaan K' joku avoin peite {V_b}, V_b:t ovat avoimia ja K' on niiden unioinin osajoukko. Tätä tarkoittaa avoin peite. Merkitään V=U_b V_b (tämä tarkoittaa unionia). Nyt V'=f^-1(V)=U_b f^-1(V_b) on K:n avoin peite, koska f on jatkuva. Nyt äärellinen joukko f^-1(V_b):tä riittää peittämään K:n, koska K on kompakti. Olkoot ne f^-1(V_1), ..., f^-1(V_n).
Siis V''=U_{k=1}^n f^-1(V_k) pettää K:n. Koska f(f^-1(A)) on A:n osajoukko (osoita tämä itsellesi), niin f(V'') on U_{k=1}^n V_k:n osajoukko, ja edelleen K'=f(K) on f(V''):n osajoukko, joten väite on todistettu, koska löytyi avoin osapeite V_1, ..., V_n, joka peittää K':n.

 

[SamSal]

Ihan mielenkiinnosta kysyn, että mihin näitä kaavoja/todistuksi jne. jne. käytetään?