Matematiikkapähkinät

[TomiP]

Tämä ketju on tarkoitettu olevan Päivä kysymys -ketju kaltainen. Esitän pähkinän (siis matematiikkaa ei laskentoa, yleensä kyse on jostain osoittamisesta tai todistamisesta), joihin saatte esittää ratkaisujanne. Ensin oikein vastannut saa pisteen. Minä olen ylituomari, toki perustellut vasta-argumentit ovat tervetulleita.

 

[TomiP]

Ensimmäinen pähkinä on:

Osoita, että jokaisella R^N:n suljetun osajoukon kontraktiolla on ainakin yksi kiintopiste.

 

[Virveliä kainaloon]

Osoitan

 

[TweetyLeaf]

EDIT: Äh, ymmärsin ketjun aiheen ensin väärin. Suuret pahoitteluni moisesta :( Jätän nyt viestini näkyviin, mutta toivottavasti ihmiset pysyvät aiheessa.

-----------------------

Jos sinulla on 20 paria hanskoja joita on tasaisesti jaettuna neljää eri väriä ja hanskat ovat sekaisin korissa, millä todennäköisyydellä nostat ne korista jossa ne ovat täysin sekaisin 4 eriväristä hanskaa joista 2 on oikeankäden hanskoja ja 2 vasemman käden hanskoja?

PS: Tähän tarvitaan aivan varmasti @TomiP : tuomio, koska itse en ole varma vastauksesta.

 

[TomiP]

EDIT: Äh, ymmärsin ketjun aiheen ensin väärin. Suuret pahoitteluni moisesta :( Jätän nyt viestini näkyviin, mutta toivottavasti ihmiset pysyvät aiheessa.

-----------------------

Jos sinulla on 20 paria hanskoja joita on tasaisesti jaettuna neljää eri väriä ja hanskat ovat sekaisin korissa, millä todennäköisyydellä nostat ne korista jossa ne ovat täysin sekaisin 4 eriväristä hanskaa joista 2 on oikeankäden hanskoja ja 2 vasemman käden hanskoja?

PS: Tähän tarvitaan aivan varmasti @TomiP : tuomio, koska itse en ole varma vastauksesta.

Ei mitään. Voin avata toisen ketjun, jossa saatte esittää omia pähkinöitä.

 

[TomiP]

Osoitan

Väärin.

 

[TomiP]

Vihjeenä kannattaa selvittää ensin

1) Mikä on kontraktio
2) Mikä on kiintopiste
3) Miksi juurikin R^N:n suljetut osajoukot (eivätkä esim. avoimet). R^N avaruudet eivät tässä sinällään erikoisasemassa, mutta niillä on todistuksen kannalta yksi tärkeä ominaisuus, joka periytyy suljetuille osajoukoille (selvitä mikä).

 

[TomiP]

Missäköhän viipyvät palstamme oikeistolaiset matematiikkanerot? Nyt olisi mahdollisuus näyttää kykyjään.

 

[kalkkifredi]

Ettet vaan olisi räksyttänyt itsesi niiden oikeistolaisten matikkanerojen persona non grata -listalle? Niille tämä ketju lienee ihan non-eksistenssiä.

Ihan tässä vaan spekuloin syitä sille, kun jengi perääntyy heti kun olisi avaruusoppia tarjolla.

 

[TomiP]

Vihje2.

Muodosta sarja seuraavasti:

kiinnitä x_0
x_1=f(x_0)
x_{n+1}=f(x_n)

Tutki sarjan suppenemista.

 

[redlate]

Aikaa ei ole nyt hirveästi, mutta menisikö toi vihjeen 2 jono Cauchy jonoksi kontraktio ehdon nojalla, jolloi se suppenee reaaliavaruuksissa ja jonon raja-arvona seuraa f(x)=x eli kiintopiste.

 

[TomiP]

Aikaa ei ole nyt hirveästi, mutta menisikö toi vihjeen 2 jono Cauchy jonoksi kontraktio ehdon nojalla, jolloi se suppenee reaaliavaruuksissa ja jonon raja-arvona seuraa f(x)=x eli kiintopiste.

Juuri näin. Ainoa vähän työläämpi vaihe on Cauchy-jonon osoittaminen.
Hyväksyn vastauksesi.

Pistetilanne:
redlate: 1

 

[TomiP]

Seuraava pähkinä:

Vähän suoraviivaisempi tähän väliin.

Integroi funktio 1/(1+x^4) yli reaaliakselin (siis miinus äärettömästä äärettömään). Tarkka lukuarvo riittää.

 

[huhheijaa]

pii x neliöjuuri 2 /2

e: pii ei näykkään tuollaisena symbolina

 

[TomiP]

pii x neliöjuuri 2 /2

e: pii ei näykkään tuollaisena symbolina

Oikein.

 

[TomiP]

Pistetilanne:

redlate: 1
huhheijaa: 1

 

[TomiP]

Seuraava pähkinä:

Todista algebran peruslause eli polynomiyhtälöllä p_n(z)=0 on tismalleen n juurta kompleksitasossa kun n>0.

Edit: Lisähuomautus. Jos n=0, niin joko yhtälöllä ei ole ratkaisua tai sillä on ääretön määrä juuria (koko kompleksitaso).

 

[redlate]

Seuraava pähkinä:

Todista algebran peruslause eli polynomiyhtälöllä p_n(z)=0 on tismalleen n juurta kompleksitasossa kun n>0.

Edit: Lisähuomautus. Jos n=0, niin joko yhtälöllä ei ole ratkaisua tai sillä on ääretön määrä juuria (koko kompleksitaso).

Laiskana en jaksa laskea, niin kelpaisiko tällainen päättely. Algebran peruslauseen mukaan jokaisella polynomifunktiolla pn(z) on ainakin yksi nollakohta. Olkoon vaikka z1=a. Tällöin pn(z)=(z-a)q(z), missä q on yhtä astetta alempi. Toistamalla tätä päättelyä päästään lopputulemaan, jossa ratkaisuja on n kpl.
Algebran peruslause seuraa Liouvillen lauseesta.

 

[vilpertti]

Missäköhän viipyvät palstamme oikeistolaiset matematiikkanerot? Nyt olisi mahdollisuus näyttää kykyjään.

Oikeistolaisina ymmärtävät varmaan käyttää taitojaan tuottavasti joidenkin oman pään sisäisten kunnioituspisteiden keräämisen sijaan...

Ovat niin kutsutusti aikuisia.

 

[TomiP]

Oikeistolaisina ymmärtävät varmaan käyttää taitojaan tuottavasti joidenkin oman pään sisäisten kunnioituspisteiden keräämisen sijaan...

Ovat niin kutsutusti aikuisia.

Totuus taitaa olla juurikin kuten sanoin, että oikeistolaiset usein rehvastelevat ilman mitään pohjaa.

 

[TomiP]

Laiskana en jaksa laskea, niin kelpaisiko tällainen päättely. Algebran peruslauseen mukaan jokaisella polynomifunktiolla pn(z) on ainakin yksi nollakohta. Olkoon vaikka z1=a. Tällöin pn(z)=(z-a)q(z), missä q on yhtä astetta alempi. Toistamalla tätä päättelyä päästään lopputulemaan, jossa ratkaisuja on n kpl.
Algebran peruslause seuraa Liouvillen lauseesta.

Oikea päättely, mutta haluan myös nähdä kuinka pääset Liouvillen lauseesta siihen, että polynomilla täytyy olla nollakohta. Tämä vaihe on helppo, muttei täysin triviaali.

 

[redlate]

Oikea päättely, mutta haluan myös nähdä kuinka pääset Liouvillen lauseesta siihen, että polynomilla täytyy olla nollakohta. Tämä vaihe on helppo, muttei täysin triviaali.

Analyyttinen p(z) erisuuri kuin nolla》1/p(z) myös analyyttinen. |p(z)| pienin arvo》1/|p(z)| suurin arvo》1\p(z) rajoitettu》Liouville 1\p(z) vakio》p(z) vakio. Joten jos ei nollakohtaa p(z) on vakio. Seuraus algebran peruslause.

 

[TomiP]

Analyyttinen p(z) erisuuri kuin nolla》1/p(z) myös analyyttinen. |p(z)| pienin arvo》1/|p(z)| suurin arvo》1\p(z) rajoitettu》Liouville 1\p(z) vakio》p(z) vakio. Joten jos ei nollakohtaa p(z) on vakio. Seuraus algebran peruslause.

1/p(z):lla ei ole välttämättä suurinta tai pienintä arvoa. Kompleksitaso ei ole kompakti. Hain sitä, että |p(z)| menevät äärettömyyteen kun |z| menee äärettömyyteen (helppo osoittaa). Tästä seuraa, että 1/|p(z)| menee 0, kun |z| menee äärettömyyteen. Joten on olemassa R>0 s.e. 1/|p(z)|<1, kun |z|>R näin funktio 1/|p(z)| on rajoitettu, tästä seuraa, että 1/p(z) olisi vakio Liuovillen lauseen perusteella (eli p(z) olisi vakio myös). Tämä on ristiriita.

Hyväksyn kuitenkin vastauksesi.

 

[TomiP]

Pistetilanne:

redlate: 2
huhheijaa: 1

 

[TomiP]

Seuraava pähkinä:

Ratkaise DY y''(x)+ay'(x)+by(x)=c*sin(d*x). a,b, c ja d ovat reaalivakioita d/=0