Paradokseja ja muuta ihmeellistä.

[seisnauraa]

Tähän ketjuun on tarkoitus pläjäyttää kaiken maailman paradokseja ja muita hämäriä viestejä. Onhan niitä varmaan muitakin kuin vain matemaattisia kummallisuuksia. Itseäni on aina jotenkin kiehtonu paradoksit. Muutenkin kaikki arvoitukset ja pienet pähkinät, joita saa (joutuu) pohdiskelemaan on mukavia.

-----
Alotan nyt tälläsellä, jonka kaveri heitti tänään luennolla:

Kaveri kysy, että uskonko, että 1=0.9999999... (äätettömästi ysejä)? Noh, en nyt ihan heti jaksanu uskoa. Perusteluna kaveri pläjäytti, että:

x = 0.99999999999... (ysit jatkuu taas loputtomiin)
10x = 9,99999999999... ( --"--"-- )

Nyt kun alemmasta yhtälöstä miinustetaan ylempi saadaan

9x = 9 ja supistamisen jälkeen saadaan
x = 1 ja mikä olikaan x:n arvo aluksi... aivan niin!
-----
-----
Onhan näitä muitakin. Joskus aikoinaan yläasteen tai lukion matikan kirjassa oli jänis ja kilpikonna probleema.

Kilpikonna juoksee 1/10 metriä siinä ajassa, kun jänis 1:n metrin. Kaverukset lähtevät juoksemaan kilpaa ja jänis saa 10 metriä etumatkaa. Kun jänis on juossut 10m, eli on samalla paikalla, josta kilpikonna lähti matkaan, on kilpikonna juossut 1m:n eteen päin. Kun jänis on juossut jälleen kilpikonnan edelliseen paikkaan, on kilpikonna juossut taas 1/10:n osan jäniksen juoksemasta matkasta. Näin jänis ei saavuta koskaan kilpikonnaa, koska aina, kun jänis saapuu kilpikonnan edelliseen paikkaan, on kilpikonna edennyt taas 1/10:s osan jäniksen juoksemasta matkasta eteenpäin.

Opettaja kertoi tänään luennolla, että matemaatikoilla kesti 2000v ratkaista kyseinen ongelma. Nii-in, kyllä se herätti luennolla hilpeyttä=)
-----

Jees, eli tosiaan tarvi olla mitään matemaattista mielipuolisuutta, vaan muutkin kelpaa vallan mainiosti. Pääasia, että mietittävää ja ihmeteltävää riittää!

 

[Kemulator]

Laitetaan tämä klassikko tähän väliin:

Pikkukaupungissa toimii miesparturi, jonka bisnekseen kuuluu ajaa kaupungin kaikkien sellaisten miesten parrat, jotka eivät itse aja partaansa. Ajaako parturi oman partansa?

 

[Snakster]

Olikos se Aristoteles, jonka mukaan ilmassa lentävä nuoli on joka hetki paikallaan.

Toinen mitä armeijassa ihmeteltiin oli sellainen, että jos ampuu täsmälleen vaakasuorassa olevalla aseella luodin ja pudottaa piipun vierestä maahan toisen luodin, niin ne osuvat maahan täsmälleen samalla hetkellä. Se toinen luoti on vain edennyt muutaman sadan metrin päähän, mutta tämä eteneminen ei vaikuta sen suhtautumiseen maan vetovoimaan.

 

[Sistis]

Viestin lähetti seisnauraa

-----
Alotan nyt tälläsellä, jonka kaveri heitti tänään luennolla:

Kaveri kysy, että uskonko, että 1=0.9999999... (äätettömästi ysejä)? Noh, en nyt ihan heti jaksanu uskoa. Perusteluna kaveri pläjäytti, että:

x = 0.99999999999... (ysit jatkuu taas loputtomiin)
10x = 9,99999999999... ( --"--"-- )

Nyt kun alemmasta yhtälöstä miinustetaan ylempi saadaan

9x = 9 ja supistamisen jälkeen saadaan
x = 1 ja mikä olikaan x:n arvo aluksi... aivan niin!
-----

Tuo taitaa selittyä hyvinkin pitkälti sillä, että luvut ovat päättymättömiä desimaalilukuja. Ja kun ne ovat kerta sellaisia, ei voida laskea, että 9,999999.... - 0,999999.... = 9, kun desimaalimuoto on ääretön. Päästään toki hyvin lähelle lukua 9, mutta ei tarkalleen siihen.

Joten tästä syystä ollaan aivan lähtötilanteessa.

 

[varjo]

0.999999....=1 PISTE, tämä on siis määritelty matematiikassa sellaiseksi.

luotiesimerkki ei pidä aivan paikkaansa sen takia että nopeus vaikuttaa ilmanvastukseen, asia mikä usein lukiofysiikassa jätetään huomioimatta. Mites siis oikeasti tapahtuukaan...noh se jääköön harjoitustehtäväksi.

Esitetäänpä hieman pirullisempi paradoksi jonka ratkaiseminen ehkä onkin hieman hankalampaa kuin voisi olettaa:

Tarkastellaan kaksosia Mattia ja Teppoa. Teppo lähtee avaruusmatkalle liikkuen lähellä valonnopeutta, Matti jää makaamaan kotisohvalleen. Tepon reissu on sellainen pikavisiitti Siriuksessa josta tullaan samaa vauhtia takaisin.
Ajan dilataation vuoksi Matti huomaa Tepon kellon jätättävän. Teppo on palatessaan vielä nuori mies mutta Matti on vanhentunut huomattavasti.
Miksi näin?
Tepon suhteenhan Matti matkasi hänestä poispäin/ häntä kohti lähes valonnopeutta? Tällöin Matin olisi pitänyt nuorentua ja Tepon vanhentua.

 

[seisnauraa]

Uusimmassa Tieteen kuvalehdessä oli 'Testaa taitosi' -palstalla mielestäni hieman sekava kysymys, tai ainakaan vastaus ei mielestäni ollu oikeen järkevä. Vai enkö vaan tajunnu, sekin voi olla hyvin mahdollista. Varoitus! Kysymyksen alapuolella on vastaus, joten jos haluat ensin miettiä, älä lue kysymystä pidemmälle.

Kysymys:
Veljekset puhuvat aina totta, paitsi syntymäpäivänään ja silloin, kun heiltä kysytään, milloin heidän syntymäpäivänsä on. Silloin vastaus on aina valetta.
Jos uudenvuodenaattona heiltä kysytään, milloin heidän syntymäpäivänsä on, toinen sanoo epäröimättä: "Eilen!" ja toinen: "Huomenna!" Uudenvuodenpäivänä veljekset antavat täsmälleen samat vastaukset kuin edellis päivänä!
Minä päivinä veljekset ovat syntyneet?

Vastaus:
Toinen veljeksistä on syntynyt uudenvuodenaattona, toinen uudenvuodenpäivänä. Kumpikin veljeksistä siis valehtelee yhtenä päivänä ja puhuu totta toisena. Se, joka sanoo kaksi kertaa eilen, valehtelee ensin ja puhuu totta toisena päivänä. Se, joka sanoo kaksi kertaa huomenna, puhuu ensin totta ja valehtelee sitten.

Oma mielipide:
Jos veljekset valehtelevat syntymäpäivänään ja silloin, kun heiltä kysytään, milloin syntymäpäivä on, heidänhän pitäisi mielestäni valehdella molempina päivinä! Miten he voivat muka puhua totta toisena päivänä? Ei menny mulla ainakaan jakeluun. Jos joku vääntää tuon rautalangasta, niin ehkä sitten minäkin tajuan.

 

[Teacup]

Viestin lähetti seisnauraa
Uusimmassa Tieteen kuvalehdessä oli 'Testaa taitosi' -palstalla mielestäni hieman sekava kysymys, tai ainakaan vastaus ei mielestäni ollu oikeen järkevä. Vai enkö vaan tajunnu, sekin voi olla hyvin mahdollista. Varoitus! Kysymyksen alapuolella on vastaus, joten jos haluat ensin miettiä, älä lue kysymystä pidemmälle.

Kysymys:
Veljekset puhuvat aina totta, paitsi syntymäpäivänään ja silloin, kun heiltä kysytään, milloin heidän syntymäpäivänsä on. Silloin vastaus on aina valetta.
Jos uudenvuodenaattona heiltä kysytään, milloin heidän syntymäpäivänsä on, toinen sanoo epäröimättä: "Eilen!" ja toinen: "Huomenna!" Uudenvuodenpäivänä veljekset antavat täsmälleen samat vastaukset kuin edellis päivänä!
Minä päivinä veljekset ovat syntyneet?

Vastaus:
Toinen veljeksistä on syntynyt uudenvuodenaattona, toinen uudenvuodenpäivänä. Kumpikin veljeksistä siis valehtelee yhtenä päivänä ja puhuu totta toisena. Se, joka sanoo kaksi kertaa eilen, valehtelee ensin ja puhuu totta toisena päivänä. Se, joka sanoo kaksi kertaa huomenna, puhuu ensin totta ja valehtelee sitten.

Oma mielipide:
Jos veljekset valehtelevat syntymäpäivänään ja silloin, kun heiltä kysytään, milloin syntymäpäivä on, heidänhän pitäisi mielestäni valehdella molempina päivinä! Miten he voivat muka puhua totta toisena päivänä? Ei menny mulla ainakaan jakeluun. Jos joku vääntää tuon rautalangasta, niin ehkä sitten minäkin tajuan.

Voisko tossa sitten olla, että tarkoitetaan veljesten valehtelevan vain syntymäpäivänään ja silloinkin ainoastaan kysyttäessä syntymäpäivää? Silloin kysymyksessä ei olisi kylläkään mitään vaikeutta/ongelmallisuutta...

 

[Milhouse Nixon]

Viestin lähetti seisnauraa

-----
Alotan nyt tälläsellä, jonka kaveri heitti tänään luennolla:

Kaveri kysy, että uskonko, että 1=0.9999999... (äätettömästi ysejä)? Noh, en nyt ihan heti jaksanu uskoa. Perusteluna kaveri pläjäytti, että:

x = 0.99999999999... (ysit jatkuu taas loputtomiin)
10x = 9,99999999999... ( --"--"-- )

Nyt kun alemmasta yhtälöstä miinustetaan ylempi saadaan

9x = 9 ja supistamisen jälkeen saadaan
x = 1 ja mikä olikaan x:n arvo aluksi... aivan niin!
-----

x=0.77777777 (...)
10x=7.777777 (...)

=> 1=0.777777...

Logiikka hoi!


Hups!
edit: 10:n tilalle 7

En näe relaatiota ensimmäisen ja toisen yhtälön välillä.

 

[seisnauraa]

Re: Re: Paradokseja ja muuta ihmeellistä.

Viestin lähetti Milhouse Nixon
x=0.77777777 (...)
10x=7.777777 (...)

=> 1=0.777777...

Logiikka hoi!

Ööh? Tämä sun esittämä paradoksi meni kyllä yli hilseen. Sulla ei oo kyllä nyt oikeen homma hanskassa. Katoppa kun isä näyttää!

x = 0.7777777...
10x = 7.7777777...

10x - x = 9x = 7.77777... - 0.777777... = 7 eli
9x = 7
x = 7/9

Kerro mulle mistä sait ton 1=0.777777....? Vai oliko ihan oma kehittelemä paradoksi? ;)

 

[Andrej]

Kelpaako englanninkieliset oksymoronit?
-Microsoft Works
-Military Intelligence

Jooh. Alkaisi se peli nyt äkkiä.

 

[Sistis]

Re: Re: Re: Paradokseja ja muuta ihmeellistä.

Viestin lähetti seisnauraa
10x - x = 9x = 7.77777... - 0.777777... = 7 eli

Jep, juurikin näin tuo pitäisi mennä. Mutta mielestäni tuossa on edelleen virhe. Päättymättömiä desimaalilukuja ei voi vähentää tuolla tavoin, että vastaukseksi tuleekin päättyvä sellainen.

 

[Milhouse Nixon]

Re: Re: Re: Re: Paradokseja ja muuta ihmeellistä.

Viestin lähetti Sistis
Jep, juurikin näin tuo pitäisi mennä. Mutta mielestäni tuossa on edelleen virhe. Päättymättömiä desimaalilukuja ei voi vähentää tuolla tavoin, että vastaukseksi tuleekin päättyvä sellainen.

Eikös ole kysymys siitä, että todellisuudessa noiden kahden yhtälön välillä ei ole relaatiota vaan se ainoastaan sopivasti "näyttää" siltä. Eli juuri noin kuten kirjoitit.

 

[Nännimäinen]

Tämä tuli mieleen:
Kreetalainen mies sanoo: kreetalaiset valehtelevat aina.

Lentävä nuoli-paradoksi oli muistaakseni Xenonin, ei Aristoteleen.

 

[TTTTT]

Viestin lähetti varjo
0.999999....=1 PISTE, tämä on siis määritelty matematiikassa sellaiseksi.

luotiesimerkki ei pidä aivan paikkaansa sen takia että nopeus vaikuttaa ilmanvastukseen, asia mikä usein lukiofysiikassa jätetään huomioimatta. Mites siis oikeasti tapahtuukaan...noh se jääköön harjoitustehtäväksi.

Esitetäänpä hieman pirullisempi paradoksi jonka ratkaiseminen ehkä onkin hieman hankalampaa kuin voisi olettaa:

Tarkastellaan kaksosia Mattia ja Teppoa. Teppo lähtee avaruusmatkalle liikkuen lähellä valonnopeutta, Matti jää makaamaan kotisohvalleen. Tepon reissu on sellainen pikavisiitti Siriuksessa josta tullaan samaa vauhtia takaisin.
Ajan dilataation vuoksi Matti huomaa Tepon kellon jätättävän. Teppo on palatessaan vielä nuori mies mutta Matti on vanhentunut huomattavasti.
Miksi näin?
Tepon suhteenhan Matti matkasi hänestä poispäin/ häntä kohti lähes valonnopeutta? Tällöin Matin olisi pitänyt nuorentua ja Tepon vanhentua.

Ottamatta kantaa sen enempää näihin 0.999... ja 0.777... juttuihin (raja-arvojuttuja, yhteys keinotekoinen joskin olemassa)
niin eikös Matti ja Teppo ole gravitaation vankeja? Kiihtyvyyden aiheuttamassa gravitaatiokentässä aika on yksi parametri joka muuttuu (Einstainin laajempi teoria). Ja siksi toinen kokee ajankulun "nopeampana". Ja muistaakseni saa todella kulkea lähellä valon nopeutta, mitenhän sen kroppa kestää?

 

[Jonde]

Kaverini mietti tänään tälläistä:

Oletetaan että maapallon läpi kaivettaisiin reikä, ja jos joku hyppäisi tähän reikään eikä kuolisi tällä matkalla läpi tämän reiän. Niin mitä tälle ihmiselle tapahtuisi kun se saavuttaisi maapallon toisen puolen? Jatkaisiko tämä ihminen putoamista toisella puolella maapalloa (tuskin), vai mitä tapahtuisi?

 

[herttakurko]

Viestin lähetti TPS4Ever
Kaverini mietti tänään tälläistä:

Oletetaan että maapallon läpi kaivettaisiin reikä, ja jos joku hyppäisi tähän reikään eikä kuolisi tällä matkalla läpi tämän reiän. Niin mitä tälle ihmiselle tapahtuisi kun se saavuttaisi maapallon toisen puolen? Jatkaisiko tämä ihminen putoamista toisella puolella maapalloa (tuskin), vai mitä tapahtuisi?

Putoaisi kai kohti keskipistettä, kunnes krillaantuisi kuoliaaksi kuumuudessa. (olettaen että reikä pysyisi auki vaikka maapallon sisimmät kuoret taitavat olla vielä melko sulassa tilassa..=)

 

[seisnauraa]

Viestin lähetti TPS4Ever
Kaverini mietti tänään tälläistä:

Oletetaan että maapallon läpi kaivettaisiin reikä, ja jos joku hyppäisi tähän reikään eikä kuolisi tällä matkalla läpi tämän reiän. Niin mitä tälle ihmiselle tapahtuisi kun se saavuttaisi maapallon toisen puolen? Jatkaisiko tämä ihminen putoamista toisella puolella maapalloa (tuskin), vai mitä tapahtuisi?

Unohdetaan se, että ihminen sulaisi maan keskellä, jos se reikä nyt sattuisi tosiaan pysymään avoinna. Ihminen putoaisi kyllä keskipistettä kohti, mutta miksi ihmeessä ihminen "putoaisi" keskipisteestä pois päin? Tiedät varmaan, että painovoima kohdistuu keskipistettä kohti. Esittämäsi teorian mukaan painovoima vetäisi ihmistä ensin kohti keskipistettä ja sitten painovoima yhtäkkiä häviäisi ja jo saatu liike jatkuisi.

Totuus lienisi se, että ihmine putoaisi keskipisteeseen ja jäisi sinne!

 

[Jonde]

Viestin lähetti seisnauraa
Tiedät varmaan, että painovoima kohdistuu keskipistettä kohti. Esittämäsi teorian mukaan painovoima vetäisi ihmistä ensin kohti keskipistettä ja sitten painovoima yhtäkkiä häviäisi ja jo saatu liike jatkuisi.

Suurinpiirtein näin minä asian kaverilleni selitinkin, en tiedä sitten ymmärsikö... Tuskimpa.
Niimpä, eihän se reikä edes pysyisi kasassa, eikä ihminen todellakaan selviäisi siellä kuumuudessa yms.

Viestin lähetti seisnauraa
Totuus lienisi se, että ihmine putoaisi keskipisteeseen ja jäisi sinne!

Tämä on vaan aika omituinen juttu, sillä periaatteessa ihminen jäisi leijailemaan keskelle tätä keskipistettä...

 

[varjo]

Jos oletetaan että tuo maapallon läpäisevä kuilu on tyhjiössä niin kaverisi jäisi oskilloimaan tuota putkea päästä päähän ( kuuluu 1. vuosikurssin laskuihin yliopistofysiikassa).
Jos taas kuilussa on ilmaa niin kaverin liike hiljalleen hidastuisi ja hän jäisi keskipisteeseen.

TT....*x :

Ratkaisu ei ole noin yksinkertainen :) Aikadilataatiohan annetaan jo ongelmassa itsessään.

 

[Eino_Mies]

Vastatkaa nyt jo viisaammat minulle (perustelujen kera):

KUMPI OLI ENSIN, MUNA VAI KANA??

 

[Sistis]

Viestin lähetti Eino_Mies
Vastatkaa nyt jo viisaammat minulle (perustelujen kera):

KUMPI OLI ENSIN, MUNA VAI KANA??

Kana. Jos ensin olisi ollut muna, ei sitä munaa olisi voinut hautoa kukaan.

 

[hihhu]

Viestin lähetti Eino_Mies
Vastatkaa nyt jo viisaammat minulle (perustelujen kera):

KUMPI OLI ENSIN, MUNA VAI KANA??

Tämä on kai suhteellisen helppo. Ensin oli muna. Munivia otuksia lienee ollut ennen kanojakin. Joku aiheeseen perehtynyt voi korjata, jos olen erehtynyt. Jos taas kysymys laitetaan muotoon kumpi oli ensin kananmuna vain kana, niin sitten ensin oli kana. Muna kun ei ole kananmuna, jos sitä ei muni kana. YMMV, kuten ulkomaanpelleillä on tapana sanoa, koska en ole sen enempää biologi kuin kielitieteilijäkään.

Edit: Sistis olikin vikkelä.

 

[Tunkki]

Liiga yrittää jatkuvasti nostaa profiiliaan ja kirkastaa kasvojaan ja silti liigassa melkein hännänhuippuna rypee espoolainen wannabe-american jakkupukujengi.

Paradoksaalista tämäkin...

 

[calvin]

Varjon kaksosparadoksiin vastaus on yksinkertaisesti se, että Matti pysyy samassa inertiaalikoordinaatistossa kun taas Teppo vaihtaa sitä.

Ja dinosaurusten tiedetään munineen ja linnut ovat dinojen jälkeläisiä joten muna oli ennen kanaa.

 

[Jomppa]

Muistaakseni ollut jossain vitsikirjassa. Jos Jumala kerran on kaikki voipa, niin voiko se luoda niin ison kiven ettei se pysty sitä itsekkään nostamaan?